(2,0 pontos) Determine o volume da calota esférica de altura
, construída a partir de uma esfera de raio
, cortando a esfera por um plano paralelo ao equador. Dica: pense na esfera como o sólido de revolução obtido a partir da rotação do círculo
ao redor de um dos eixos coordenados.
Passo 1
A questão pede o volume de uma calota esférica de altura
de uma esfera de raio
. Vamos usar o método de sólidos de revolução: representar a esfera como revolução do círculo
em torno do eixo
e depois integrar.
Passo 2
O círculo gerador é dado por
. Ao girar em torno do eixo
, cada fatia horizontal em
gera um disco de raio
.
Passo 3
A calota de altura
corresponde à região do círculo para
entre
(plano de corte) e
(topo da esfera). Em cada
nessa faixa, o raio do disco é
e sua área é
.
Passo 4
O volume da calota é a integral dos volumes desses discos:
Passo 5
Calculando a integral:
Passo 6
Substituindo
e simplificando passo a passo, chega-se a
Resposta
\displaystyle V = \frac{\pi h^2,(3a - h)}{3}