(2,0 pontos) Determine o volume da calota esférica de altura h, construída a partir de uma esfera de raio a, cortando a esfera por um plano paralelo ao equador. Dica: pense na esfera como o sólido de revolução obtido a partir da rotação do círculo x^2+y^2 <= a^2 ao redor de um dos eixos coordenados.

Passo 1

A questão pede o volume de uma calota esférica de altura h de uma esfera de raio a. Vamos usar o método de sólidos de revolução: representar a esfera como revolução do círculo x^2 + y^2 <= a^2 em torno do eixo y e depois integrar.

Passo 2

O círculo gerador é dado por x^2 + y^2 = a^2. Ao girar em torno do eixo y, cada fatia horizontal em y gera um disco de raio r(y)=raiza^2 - y^2.

Passo 3

A calota de altura h corresponde à região do círculo para y entre c = a - h (plano de corte) e y = a (topo da esfera). Em cada y nessa faixa, o raio do disco é raiza^2 - y^2 e sua área é pi (a^2 - y^2).

Passo 4

O volume da calota é a integral dos volumes desses discos:
V = integraly=c^a pil(a^2 - y^2r),dy

Passo 5

Calculando a integral:
V = pi integralc^a (a^2 - y^2),dy = pil[a^2 y - tfracy^33r]c^a = pil(a^3 - tfraca^33 - (a^2 c - tfracc^33)r)

Passo 6

Substituindo c = a - h e simplificando passo a passo, chega-se a
V = pil(a h^2 - tfrach^33r) = pi h^2(3a - h)3

Resposta

\displaystyle V = \frac{\pi h^2,(3a - h)}{3}

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