Calcule as derivadas das funções usando a regra da cadeia.
f(x)=1(x^2-2 x-5)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=1l(x^2-2x-5r)^4
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a uma potência de uma função interna. Para resolver, vamos reescrever f como potência negativa e depois diferenciar usando o power rule e a derivada da parte interna.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como potência negativa, pois assim fica mais fácil aplicar a regra da cadeia:
f(x)=l(x^2-2x-5r)^-4

Passo 3

Identificamos as funções envolvidas na cadeia:
  • Função externa g(u)=u^-4 com u=x^2-2x-5.
  • Função interna u(x)=x^2-2x-5.

Passo 4

Calculamos a derivada da parte interna u(x):
u'(x)=ddxl(x^2-2x-5r)=2x-2

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de g(u(x)) é
f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x)
Para g(u)=u^-4 vale
g'(u)=-4,u^-5,
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f'(x)=-4,l(x^2-2x-5r)^-5,(2x-2)

Passo 6

Fatoramos e simplificamos o resultado:
f'(x)=-4,(2x-2),l(x^2-2x-5r)^-5 =-8(x-1),l(x^2-2x-5r)^-5
Voltando à forma de fração, obtemos
f'(x)=-8(x-1)l(x^2-2x-5r)^5

Resposta

f'(x)=-8(x-1)l(x^2-2x-5r)^5

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