Encontre o volume do sólido no primeiro octante, definido pelos planos coordenados e o plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde
,
e
são positivos ou iguais a zero. Esse sólido é limitado pelos planos coordenados
,
e
, e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos ajudam a encontrar volumes de formas tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano
. Esse plano intercepta os eixos
,
e
nos pontos onde os outros dois coordenados são zero:
- Quando
e : - Quando
e : - Quando
e :
Então, temos os pontos
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Vamos integrar na ordem
, depois
, e por último
. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração para cada variável:
- Para
: vai de 0 até - Para
: vai de 0 até - Para
: vai de 0 até 6
Passo 4
A integral tripla fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
. Quando
,
e quando
,
.
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante é
unidades cúbicas.