Encontre o volume do sólido no primeiro octante, definido pelos planos coordenados e o plano
x+y+2 z=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde x , y e z são positivos ou iguais a zero. Esse sólido é limitado pelos planos coordenados xy , xz e yz , e pelo plano x + y + 2z = 6 . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos ajudam a encontrar volumes de formas tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano x + y + 2z = 6 . Esse plano intercepta os eixos x , y e z nos pontos onde os outros dois coordenados são zero:
  • Quando y = 0 e z = 0 : x = 6
  • Quando x = 0 e z = 0 : y = 6
  • Quando x = 0 e y = 0 : z = 3
Então, temos os pontos (6, 0, 0) , (0, 6, 0) e (0, 0, 3) .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Vamos integrar na ordem z , depois y , e por último x . Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração para cada variável:
  • Para z : vai de 0 até z = 6 - x - y2
  • Para y : vai de 0 até y = 6 - x
  • Para x : vai de 0 até 6

Passo 4

A integral tripla fica assim:
V = integral0^6 integral0^6 - x integral0^6 - x - y2 dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z :
integral0^6 - x - y2 dz = 6 - x - y2
Então, a integral fica:
V = integral0^6 integral0^6 - x 6 - x - y2 , dy , dx

Passo 6

Agora, integramos em relação a y :
integral0^6 - x 6 - x - y2 , dy = 12 [ (6 - x)y - y^22 ]0^6 - x
Substituindo os limites:
= 12 [ (6 - x)(6 - x) - (6 - x)^22 ] = (6 - x)^22
Então, a integral agora é:
V = integral0^6 (6 - x)^22 , dx

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a x :
integral0^6 (6 - x)^22 , dx = 12 integral0^6 (6 - x)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = 6 - x , então du = -dx . Quando x = 0 , u = 6 e quando x = 6 , u = 0 .
12 integral6^0 u^2 (-du) = 12 integral0^6 u^2 , du = 12 [ u^33 ]0^6 = 12 ( 2163 - 0 ) = 12 times 72 = 36

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante é 36 unidades cúbicas.

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