Sendo a densidade de<a=y^2 calcule a massa da lâmina triangular limitada pela reta x+y=4 e os eixos x=0 e y=0.

Passo 1

Vamos lá, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina com densidade que varia de acordo com a posição, dada pela função de<a = y^2. A região que queremos considerar é um triângulo limitado pela reta x + y = 4 e pelos eixos x = 0 e y = 0. Nosso objetivo é calcular a massa dessa lâmina usando conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração para configurar a integral dupla que vai nos dar a massa. A região é um triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (4,0) e (0,4), pois a reta x + y = 4 intercepta os eixos em x = 4 e y = 4.

Passo 3

Vamos decidir em qual ordem integrar. Vou escolher integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Para cada valor de y, x varia de 0 até 4 - y. Então, os limites são:
  • Para y: de 0 a 4
  • Para x: de 0 a 4 - y

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para a massa M:
M = integral0^4 integral0^4 - y y^2 , dx , dy
Aqui, y^2 é a densidade de<a, e estamos integrando sobre a área do triângulo.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
integral0^4 - y y^2 , dx = y^2 cdot x |0^4 - y = y^2(4 - y) - y^2(0) = y^2(4 - y)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
M = integral0^4 y^2(4 - y) , dy
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
y^2(4 - y) = 4y^2 - y^3
Então,
M = integral0^4 (4y^2 - y^3) , dy

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
M = integral0^4 4y^2 , dy - integral0^4 y^3 , dy
Integrando termo a termo:
integral 4y^2 , dy = 4 cdot y^33 = 4y^33
integral y^3 , dy = y^44
Portanto,
M = 4y^33 |0^4 - y^44 |0^4

Passo 8

Agora, avaliamos as integrais nos limites de 0 a 4:
Para 4y^33 :
4(4)^33 - 4(0)^33 = 4 cdot 643 = 2563
Para y^44 :
(4)^44 - (0)^44 = 2564 = 64

Passo 9

Subtraindo os resultados:
M = 2563 - 64 = 2563 - 1923 = 643

Resposta

A massa da lâmina triangular é dfrac643 unidades de massa.

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