Sendo a densidade calcule a massa da lâmina triangular limitada pela reta e os eixos e .
Passo 1
Vamos lá, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina com densidade que varia de acordo com a posição, dada pela função . A região que queremos considerar é um triângulo limitado pela reta e pelos eixos e . Nosso objetivo é calcular a massa dessa lâmina usando conceitos de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração para configurar a integral dupla que vai nos dar a massa. A região é um triângulo no primeiro quadrante com vértices em , e , pois a reta intercepta os eixos em e .
Passo 3
Vamos decidir em qual ordem integrar. Vou escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para cada valor de , varia de até . Então, os limites são:
Para : de a
Para : de a
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para a massa :
Aqui, é a densidade , e estamos integrando sobre a área do triângulo.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
M = integral0^4 y^2(4 - y) , dy
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
y^2(4 - y) = 4y^2 - y^3
Então,
M = integral0^4 (4y^2 - y^3) , dy
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
M = integral0^4 4y^2 , dy - integral0^4 y^3 , dy
Integrando termo a termo:
integral 4y^2 , dy = 4 cdot y^33 = 4y^33
integral y^3 , dy = y^44
Portanto,
M = 4y^33 |0^4 - y^44 |0^4
Passo 8
Agora, avaliamos as integrais nos limites de 0 a 4:
Para 4y^33 :
4(4)^33 - 4(0)^33 = 4 cdot 643 = 2563
Para y^44 :
(4)^44 - (0)^44 = 2564 = 64
Passo 9
Subtraindo os resultados:
M = 2563 - 64 = 2563 - 1923 = 643
Resposta
A massa da lâmina triangular é dfrac643 unidades de massa.