Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é análise de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da razão (ou da raiz) para e depois checar separadamente os pontos e .
Passo 2
Aplicamos o teste da razão aos coeficientes . Calculamos
Pelo teste da razão, o raio de convergência é
R = 1L = 1
Passo 3
Concluímos que a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1. Agora resta analisar os casos de fronteira x=1 e x=-1.
Observe que bn = tfracln nn satisfaz bn>0, limntoinftybn=0 e, para n>=3,
bn+1<bn
pois a função f(x)=ln x/x é decrescente para x>e. Pelo critério de Leibniz (série alternada de termos decrescentes a zero), essa série converge (de modo condicional).
Resposta
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1).