Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^n ln nn x^n

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty ln nn,x^n
O conteúdo aqui é análise de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da razão (ou da raiz) para R e depois checar separadamente os pontos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão aos coeficientes an = ln nn. Calculamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty ln(n+1)/(n+1)ln n / n = limntoinfty ln(n+1)ln n,nn+1 =1cdot1 =1
Pelo teste da razão, o raio de convergência é
R = 1L = 1

Passo 3

Concluímos que a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1. Agora resta analisar os casos de fronteira x=1 e x=-1.

Passo 4

Para x=1 a série fica
sumn=1^infty ln nn
Usamos o teste da integral:
integral2^infty ln tt,dt = (ln t)^22|2^infty = infty,
logo a série diverge.

Passo 5

Para x=-1 a série fica
sumn=1^infty (-1)^n,ln nn
Observe que bn = tfracln nn satisfaz bn>0, limntoinftybn=0 e, para n>=3,
bn+1<bn
pois a função f(x)=ln x/x é decrescente para x>e. Pelo critério de Leibniz (série alternada de termos decrescentes a zero), essa série converge (de modo condicional).

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1).

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