Calcule as derivadas das funções usando a regra da cadeia.
f(x)=e^3 x1+e^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=e^3x1+e^x
usando a regra da cadeia. Vamos usar a regra do quociente para derivadas e a derivada de uma exponencial composta.

Passo 2

Defina
u(x)=e^3x, v(x)=1+e^x
Pela regra do quociente,
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calcule as derivadas de u e v usando a regra da cadeia:
u'(x)=ddxl(e^3xr)=3,e^3x, v'(x)=ddxl(1+e^xr)=e^x

Passo 4

Substituindo em f'(x) e simplificando:
f'(x) =3e^3x,(1+e^x)-e^3x,e^x(1+e^x)^2 =3e^3x+3e^4x-e^4x(1+e^x)^2 =3e^3x+2e^4x(1+e^x)^2

Resposta

f'(x)=e^3xl(3+2e^xr)(1+e^x)^2

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