Calcule as derivadas das funções vetoriais
(a) r(t)=sin (2 t) i+cos (t^2) j
(b) s(t)=(t^4-1) i+cosh (t) k
(c) u(t)=2 cos (t) i+4 sin (t) j+t k

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de três funções vetoriais. O conteúdo é derivação componente a componente, usando a regra da cadeia sempre que aparecer uma função composta.

Passo 2

Para r(t)=sin(2t),i+cos(t^2),j, derivamos cada componente:
  • dfracddt[sin(2t)]=cos(2t)cdot2 pela regra da cadeia.
  • dfracddt[cos(t^2)]=-sin(t^2)cdot2t pela regra da cadeia.
    Portanto,
r'(t)=2cos(2t),i-2tsin(t^2),j

Passo 3

Para s(t)=(t^4-1),i+cosh(t),k, derivamos:
  • dfracddt[t^4-1]=4t^3.
  • dfracddt[cosh(t)]=sinh(t).
    Não há componente em j, então ela gera zero. Assim,
s'(t)=4t^3,i+sinh(t),k

Passo 4

Para u(t)=2cos(t),i+4sin(t),j+t,k, derivamos:
  • dfracddt[2cos(t)]=-2sin(t).
  • dfracddt[4sin(t)]=4cos(t).
  • dfracddt[t]=1.
    Logo,
u'(t)=-2sin(t),i+4cos(t),j+k

Resposta

(a) r'(t)=2cos(2t),i-2tsin(t^2),j
(b) s'(t)=4t^3,i+sinh(t),k
(c) u'(t)=-2sin(t),i+4cos(t),j+k

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