A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio R é 1 / R.
(b) Determine a curvatura da cúbica retorcida r(t)=lang<= t, t^2, t^3rang<= em t=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura, que é uma medida de variação de direção de uma curva, usando a fórmula
kappa(t)=|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3
Em (a) aplicaremos isso a um círculo de raio R e em (b) à cúbica retorcida r(t)=lang<= t,t^2,t^3rang<= no ponto t=0.

Passo 2

Para o círculo de raio R podemos usar a parametrização em 3D
r(t)=llang<= Rcos t,;Rsin t,;0rrang<=
Então
r'(t)=llang<= -Rsin t,;Rcos t,;0rrang<=, r''(t)=llang<= -Rcos t,;-Rsin t,;0rrang<=
O produto vetorial é
r'(t)times r''(t) =llang<= 0,;0,;R^2(sin^2t+cos^2t)rrang<= =llang<=0,0,R^2rrang<=,
logo |r'(t)times r''(t)|=R^2.
Além disso |r'(t)|=raiz(-Rsin t)^2+(Rcos t)^2=raizR^2=R.
Substituindo em kappa:
kappa=R^2R^3=1R

Passo 3

Para r(t)=lang<= t,t^2,t^3rang<= temos
r'(t)=lang<=1,2t,3t^2rang<=, r''(t)=lang<=0,2,6trang<=
No ponto t=0:
r'(0)=lang<=1,0,0rang<=, r''(0)=lang<=0,2,0rang<=
O produto vetorial em t=0 é
r'(0)times r''(0) =lang<=1,0,0rang<=timeslang<=0,2,0rang<= =lang<=0,0,2rang<=,
portanto |r'(0)times r''(0)|=2.
E |r'(0)|=|lang<=1,0,0rang<=|=1.
Logo a curvatura em t=0 é
kappa(0)=21^3=2

Resposta

(a) kappa=tfrac1R.
(b) kappa(0)=2.

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