A curvatura de uma curva
um dado ponto
é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em
e é dada por
onde
é o vetor tangente unitário em
.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio
é
.
(b) Determine a curvatura da cúbica retorcida
em
.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio
(b) Determine a curvatura da cúbica retorcida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a curvatura, que é uma medida de variação de direção de uma curva, usando a fórmula
Em (a) aplicaremos isso a um círculo de raio
e em (b) à cúbica retorcida
no ponto
.
Passo 2
Para o círculo de raio
podemos usar a parametrização em 3D
Então
O produto vetorial é
logo
.
Além disso .
Substituindo em :
Além disso
Substituindo em
Passo 3
Para
temos
No ponto
:
O produto vetorial em
é
portanto
.
E .
Logo a curvatura em é
E
Logo a curvatura em
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)