Escreva a definição de diferencial, derivada direcional e vetor gradiente para uma função f em três variáveis.

Passo 1

O enunciado pede as definições de diferencial total, derivada direcional e vetor gradiente para uma função fcolon R^3 to R. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável: derivadas parciais, aproximação linear e limites.

Passo 2

Definimos a diferencial total de f num ponto p=(x0,y0,z0) como o mapa linear que melhor aproxima o incremento de f. Se considerarmos um vetor de variação h=(h1,h2,h3), então
df(p)(h) =partial fpartial x(p),h1 +partial fpartial y(p),h2 +partial fpartial z(p),h3

Passo 3

A derivada direcional de f em p pela direção de um vetor unitário u=(u1,u2,u3) mede a taxa de variação de f quando nos movemos em linha reta na direção de u. É dada pelo limite
Duf(p) =limtto 0fl(p+t,ur)-f(p)t,
e coincide com a aplicação da diferencial em u:
Duf(p)=df(p)(u)

Passo 4

O vetor gradiente de f em p reúne as derivadas parciais em cada direção coordenada. Define-se
nabla f(p) =l(partial fpartial x(p),, partial fpartial y(p),, partial fpartial z(p)r)
Ele satisfaz
df(p)(h)=nabla f(p)cdot h e Duf(p)=nabla f(p)cdot u

Resposta

Diferencial total em p:
df(p)(h)=partial fpartial x(p),h1 +partial fpartial y(p),h2 +partial fpartial z(p),h3
Derivada direcional em p pela direção u:
Duf(p) =limtto 0f(p+t,u)-f(p)t =df(p)(u)
Vetor gradiente em p:
nabla f(p) =l(partial fpartial x(p),, partial fpartial y(p),, partial fpartial z(p)r)

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