Escreva a definição de diferencial, derivada direcional e vetor gradiente para uma função
em três variáveis.
Passo 1
O enunciado pede as definições de diferencial total, derivada direcional e vetor gradiente para uma função
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável: derivadas parciais, aproximação linear e limites.
Passo 2
Definimos a diferencial total de
num ponto
como o mapa linear que melhor aproxima o incremento de
. Se considerarmos um vetor de variação
, então
Passo 3
A derivada direcional de
em
pela direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos em linha reta na direção de
. É dada pelo limite
e coincide com a aplicação da diferencial em
:
Passo 4
O vetor gradiente de
em
reúne as derivadas parciais em cada direção coordenada. Define-se
Ele satisfaz
Resposta
Diferencial total em
:
Derivada direcional em
pela direção
:
Vetor gradiente em
: