Calcule as derivadas das funções vetoriais.
\vec{h}(t)=2 \cos (t) \vec{i}+4 \operatorname{sen}(t) \vec{j}+t \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial
\vec{h}(t) = 2\cos(t)\,\vec{i} + 4\sin(t)\,\vec{j} + t\,\vec{k}.
O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções vetoriais, que consiste em derivar cada componente escalar separadamente.

Passo 2

Lembrando a definição, se
\vec{h}(t) = h_{1}(t)\,\vec{i} + h_{2}(t)\,\vec{j} + h_{3}(t)\,\vec{k},
então
\vec{h}\,'(t) = h_{1}'(t)\,\vec{i} + h_{2}'(t)\,\vec{j} + h_{3}'(t)\,\vec{k}.
Aplicamos essa regra componente a componente.

Passo 3

Identificando as componentes:
h_{1}(t) = 2\cos(t),\quad h_{2}(t) = 4\sin(t),\quad h_{3}(t) = t.
As derivadas são:
h_{1}'(t) = -2\sin(t),\quad h_{2}'(t) = 4\cos(t),\quad h_{3}'(t) = 1.

Passo 4

Reunindo em forma vetorial:
\vec{h}\,'(t) = -2\sin(t)\,\vec{i} + 4\cos(t)\,\vec{j} + 1\,\vec{k}.

Resposta

\vec{h}\,'(t) = -2\sin(t)\,\vec{i} + 4\cos(t)\,\vec{j} + \vec{k}.

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