Calcule a seguinte integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} 2 e^{-x} x^{2 n+1} d x, \quad n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty}2e^{-x}x^{2n+1}\,dx,
onde n\in\mathbb{N}. O conteúdo principal envolve o uso da função Gama, que generaliza o fatorial para integrais do tipo
\int_{0}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\,dx=\Gamma(a).

Passo 2

Separe o fator constante 2 e identifique o núcleo da integral com a definição da função Gama:
\int_{0}^{+\infty}2e^{-x}x^{2n+1}\,dx =2\int_{0}^{+\infty}x^{2n+1}e^{-x}\,dx.
Aqui vemos que, na forma \int_{0}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\,dx, devemos ter
a-1=2n+1 \quad\Longrightarrow\quad a=2n+2.

Passo 3

Pela definição
\int_{0}^{\infty}x^{2n+1}e^{-x}\,dx=\Gamma(2n+2).
E sabemos que, para inteiro positivo, \Gamma(k)=(k-1)!. Logo,
\Gamma(2n+2)=(2n+1)!.

Passo 4

Voltando ao fator 2, obtemos
2\int_{0}^{+\infty}x^{2n+1}e^{-x}\,dx =2\,\Gamma(2n+2) =2\,(2n+1)!.

Resposta

2\,(2n+1)!.

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