Exercício 4. Represente graficamente as curvas descritas pelas seguintes funções vetoriais:
\vec{f}(t)=\operatorname{sen}(t) \vec{i}+\cos (t) \vec{j}+\vec{k}, 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede a representação gráfica da curva dada pela função vetorial
\vec f(t)=\sin(t)\,\vec i+\cos(t)\,\vec j+\vec k, \quad 0\le t\le \pi.
O conteúdo é curva paramétrica em \mathbb R^3. Para desenhar, precisamos descobrir primeiro a relação entre x,y,z e depois ver que parte dessa curva (intervalo de t) é percorrida.

Passo 2

Seja
x(t)=\sin(t),\quad y(t)=\cos(t),\quad z(t)=1.
Note que z(t) é constante igual a 1, ou seja, a curva fica inteiramente num plano horizontal.

Passo 3

Para ver a projeção no plano xy, calculamos
x(t)^2+y(t)^2 =\sin^2(t)+\cos^2(t) =1.
Logo a projeção é um círculo de raio 1 centrado na origem do plano xy.

Passo 4

Como t vai de 0 a \pi, percorremos apenas metade desse círculo. Nos extremos:
  • em t=0: (x,y,z)=(0,1,1),
  • em t=\pi: (x,y,z)=(0,-1,1).
    No ponto médio t=\tfrac\pi2 temos (1,0,1). A orientação vai de (0,1,1) passando por (1,0,1) até (0,-1,1).

Passo 5

Concluímos que a curva é a semicircunferência de raio 1 do círculo
x^2+y^2=1
no plano z=1, começando em (0,1,1), passando por (1,0,1) e terminando em (0,-1,1).

Resposta

A curva é a semicircunferência de raio 1 no plano horizontal z=1, unindo (0,1,1) a (0,-1,1) e passando por (1,0,1), com orientação dada pelo aumento de t de 0 a \pi.

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