Exercício 3. Expresse as equações paramétricas abaixo como uma única equação vetorial:
x(t)=2 t ; y(t)=2 \operatorname{sen}(3 t) ; z(t)=5 \cos (3 t)

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas x(t)=2t, y(t)=2\sin(3t) e z(t)=5\cos(3t)
e pede para juntá-las em uma única função vetorial. O conteúdo aqui é representação de curvas em \mathbb{R}^3 por uma função vetorial \mathbf{r}(t).

Passo 2

Em \mathbb{R}^3, uma função vetorial que descreve uma curva é definida por
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k},
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nos eixos x,y,z, respectivamente.

Passo 3

Basta substituir as componentes dadas em \mathbf{r}(t). Temos
\mathbf{r}(t) =2t\,\mathbf{i}+2\sin(3t)\,\mathbf{j}+5\cos(3t)\,\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{r}(t)=2t\,\mathbf{i}+2\sin(3t)\,\mathbf{j}+5\cos(3t)\,\mathbf{k}.

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