Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}+y=y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + y = y^2
e pede a solução geral. Como o termo não é linear mas pode ser escrito como função de y só, usamos o método de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y':
y' = y^2 - y = y(y-1).
Em seguida colocamos y e x em lados opostos:
\frac{dy}{y(y-1)} = dx.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
\frac{1}{y(y-1)} = -\frac{1}{y} + \frac{1}{y-1}.
Integrando ambos os lados:
\int\bigl(-\tfrac{1}{y} + \tfrac{1}{y-1}\bigr)\,dy = \int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\ln|y| + \ln|y-1| = x + C.

Passo 4

Exponenciando e chamando K=e^C, obtemos
\ln\Bigl|\frac{y-1}{y}\Bigr| = x + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y-1}{y} = K e^{x}.
Daí
1 - \frac{1}{y} = K e^{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y} = 1 - K e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{1}{1 - K e^{x}}.

Passo 5

Além dessa família, as constantes de equilíbrio y\equiv0 e y\equiv1 também satisfazem y'+y=y^2, pois fazem y'=0 e y+y' = y^2.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{1}{1 - K e^{x}},
onde K é constante arbitrária, mais as soluções constantes
y(x)\equiv 0 \quad\text{e}\quad y(x)\equiv 1.

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