Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é composta: uma função externa
aplicada à função interna . - Há restrições de domínio implícitas:
(porque aparece divisão por ) e também para que esteja definida (ou seja, o argumento da não pode ser múltiplo inteiro de ).
A pergunta a responder é: calcular explicitamente.
Passo 2
Regra que vamos usar para a parte externa: regra da cadeia aplicada a
.
- Conhecimento-chave: a derivada da função
em relação a é
onde
e, portanto,
.
- Regra da cadeia (explicação): se
, então
Aqui
é a função interna; primeiro derivamos a externa em relação a
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Passo 3
Definimos explicitamente a função interna:
Agora precisamos calcular
. A estratégia prática é usar a regra do quociente. Vou explicar a regra do quociente de forma simples:
- Regra do quociente (fórmula): se
com , então
- Aqui escolhemos
e . Agora derivamos e : e .
Passo 4
Aplicando a regra do quociente ao nosso caso:
Simplificando um pouco:
Explicação passo a passo do que fizemos:
- Multiplicamos
por para obter o primeiro termo . - Subtraímos
vezes , ficando . - Dividimos pelo quadrado do denominador,
.
Passo 5
Agora juntamos o resultado da derivada da externa (Passo 2) com
(Passo 4) usando a cadeia:
Podemos escrever a mesma expressão de forma equivalente, deixando explícito que
:
Observações finais e lembretes para a prova:
- Use sempre a regra da cadeia quando tiver uma função dentro de outra.
- Para derivar
sem erro, aplique com calma a regra do quociente. - Tenha atenção ao domínio: a expressão da derivada só vale para
e quando .
Força aí — parece muita coisa, mas seguindo cadeia + quociente dá certinho!