Calcule as derivadas das funções:
y=\cot \left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\cot\!\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)
e pede para calcular a derivada y'. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é composta: uma função externa \cot(\cdot) aplicada à função interna u(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}.
  • Há restrições de domínio implícitas: x\neq 0 (porque aparece divisão por x) e também \sin\!\left(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right)\neq 0 para que \cot esteja definida (ou seja, o argumento da \cot não pode ser múltiplo inteiro de \pi).
    A pergunta a responder é: calcular explicitamente y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Regra que vamos usar para a parte externa: regra da cadeia aplicada a \cot(u).
  • Conhecimento-chave: a derivada da função \cot u em relação a u é
\frac{d}{du}\cot u = -\csc^{2}u,
onde \csc u=\dfrac{1}{\sin u} e, portanto, \csc^{2}u=\dfrac{1}{\sin^{2}u}.
  • Regra da cadeia (explicação): se y=\cot(u(x)), então
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}\cot u\cdot\frac{du}{dx} = -\csc^{2}u\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna; primeiro derivamos a externa em relação a u e multiplicamos pela derivada de u em relação a x.

Passo 3

Definimos explicitamente a função interna:
u(x)=\frac{\operatorname{sen}x}{x}.
Agora precisamos calcular u'(x). A estratégia prática é usar a regra do quociente. Vou explicar a regra do quociente de forma simples:
  • Regra do quociente (fórmula): se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} com w(x)\neq 0, então
u'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{[w(x)]^{2}}.
  • Aqui escolhemos v(x)=\operatorname{sen}x e w(x)=x. Agora derivamos v e w: v'(x)=\operatorname{cos}x e w'(x)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente ao nosso caso:
u'(x)=\frac{\operatorname{cos}x\cdot x - \operatorname{sen}x\cdot 1}{x^{2}}.
Simplificando um pouco:
u'(x)=\frac{x\operatorname{cos}x - \operatorname{sen}x}{x^{2}}.
Explicação passo a passo do que fizemos:
  • Multiplicamos v'(x)=\operatorname{cos}x por w(x)=x para obter o primeiro termo x\operatorname{cos}x.
  • Subtraímos v(x)=\operatorname{sen}x vezes w'(x)=1, ficando -\operatorname{sen}x.
  • Dividimos pelo quadrado do denominador, x^{2}.

Passo 5

Agora juntamos o resultado da derivada da externa (Passo 2) com u'(x) (Passo 4) usando a cadeia:
\frac{dy}{dx} = -\csc^{2}\!\bigg(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\bigg)\cdot\frac{x\operatorname{cos}x - \operatorname{sen}x}{x^{2}}.
Podemos escrever a mesma expressão de forma equivalente, deixando explícito que \csc^{2}(\cdot)=1/\sin^{2}(\cdot):
\frac{dy}{dx} = -\frac{x\operatorname{cos}x - \operatorname{sen}x}{x^{2}\,\sin^{2}\!\big(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\big)}.
Observações finais e lembretes para a prova:
  • Use sempre a regra da cadeia quando tiver uma função dentro de outra.
  • Para derivar \dfrac{\operatorname{sen}x}{x} sem erro, aplique com calma a regra do quociente.
  • Tenha atenção ao domínio: a expressão da derivada só vale para x\neq 0 e quando \sin\!\big(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\big)\neq 0.
    Força aí — parece muita coisa, mas seguindo cadeia + quociente dá certinho!

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\csc^{2}\!\left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)\cdot\frac{x\operatorname{cos}x-\operatorname{sen}x}{x^{2}}

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