Calcule as derivadas das funções:
y=\frac{1+\operatorname{cosec}\left(x^{2}\right)}{1-\cot \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\frac{1+\operatorname{cosec}\left(x^{2}\right)}{1-\cot\left(x^{2}\right)}.
Informações dadas:
\;y está definida como uma razão entre duas expressões que envolvem \operatorname{cosec} e \cot de x^{2}.
A pergunta é: calcular \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada da função y em relação a x.

Passo 2

Escolhemos o método: usar a regra do quociente, porque y tem a forma \dfrac{u(x)}{v(x)}. Vou explicar a regra do quociente de forma bem direta:
se \;y=\dfrac{u(x)}{v(x)}\; então
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) e v(x) são as partes numerador e denominador; u'(x) e v'(x) são as derivadas delas. Não esqueça que, se dentro de u ou v aparecer x^{2}, precisaremos usar também a regra da cadeia (ou seja, multiplicar pela derivada do interior, que é 2x).

Passo 3

Identificamos
u(x)=1+\operatorname{cosec}\!\big(x^{2}\big),\qquad v(x)=1-\cot\!\big(x^{2}\big).
Agora derivamos u(x). Relembre a derivada de \operatorname{cosec}(t) em relação a t:
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{cosec}t\big)=-\operatorname{cosec}t\cdot\cot t.
Aplicando regra da cadeia com t=x^{2} (cuja derivada é 2x), obtemos
u'(x)=0+\frac{d}{dx}\operatorname{cosec}\big(x^{2}\big) =-\operatorname{cosec}\big(x^{2}\big)\cot\big(x^{2}\big)\cdot 2x.
Ou, escrito de forma mais compacta,
u'(x)=-2x\,\operatorname{cosec}\big(x^{2}\big)\cot\big(x^{2}\big).

Passo 4

Agora derivamos v(x)=1-\cot\big(x^{2}\big). A derivada de \cot t em relação a t é
\frac{d}{dt}\big(\cot t\big)=-\operatorname{cosec}^{2}t.
Usando a regra da cadeia com t=x^{2} (derivada 2x) e lembrando do sinal negativo em v, temos
v'(x)=0-\frac{d}{dx}\cot\big(x^{2}\big) = -\big(-\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big)\cdot 2x\big) =2x\,\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big).

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}.
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
y'=\frac{\big(-2x\,\operatorname{cosec}(x^{2})\cot(x^{2})\big)\big(1-\cot(x^{2})\big) -\big(1+\operatorname{cosec}(x^{2})\big)\big(2x\,\operatorname{cosec}^{2}(x^{2})\big)} {\big(1-\cot(x^{2})\big)^{2}}.

Passo 6

Fatoramos 2x e \operatorname{cosec}(x^{2}) no numerador para simplificar a expressão. Primeiro escrevendo o numerador:
N=-2x\operatorname{cosec}(x^{2})\cot(x^{2})\big(1-\cot(x^{2})\big)-2x\operatorname{cosec}^{2}(x^{2})\big(1+\operatorname{cosec}(x^{2})\big).
Colocando -2x\operatorname{cosec}(x^{2}) em evidência:
N=-2x\operatorname{cosec}(x^{2})\Big[\cot(x^{2})\big(1-\cot(x^{2})\big) +\operatorname{cosec}(x^{2})\big(1+\operatorname{cosec}(x^{2})\big)\Big].

Passo 7

Expandimos o que está entre colchetes e usamos a identidade trigonométrica \cot^{2}t=\operatorname{cosec}^{2}t-1 para cancelar termos e simplificar:
\begin{aligned} \cot(1-\cot)&=\cot-\cot^{2},\\\ \operatorname{cosec}(1+\operatorname{cosec})&=\operatorname{cosec}+\operatorname{cosec}^{2}. \end{aligned}
Somando esses termos e substituindo \cot^{2}=\operatorname{cosec}^{2}-1 dá:
\cot-\cot^{2}+\operatorname{cosec}+\operatorname{cosec}^{2} =\cot-(\operatorname{cosec}^{2}-1)+\operatorname{cosec}+\operatorname{cosec}^{2} =\cot+\operatorname{cosec}+\operatorname{cosec}^{2}.
Logo o numerador fica
N=-2x\,\operatorname{cosec}(x^{2})\big(\cot(x^{2})+\operatorname{cosec}(x^{2})+1\big).

Passo 8

Substituindo N na fórmula do quociente, obtemos a forma simplificada da derivada:
y'=\frac{-2x\,\operatorname{cosec}(x^{2})\big(\cot(x^{2})+\operatorname{cosec}(x^{2})+1\big)} {\big(1-\cot(x^{2})\big)^{2}}.
Pode-se reescrever \operatorname{cosec} como \csc se preferir, mas a expressão acima é a derivada final simplificada. Força aí — deu trabalho, mas chegamos!

Resposta

y'=\frac{-2x\,\operatorname{cosec}\big(x^{2}\big)\big(\cot\big(x^{2}\big)+\operatorname{cosec}\big(x^{2}\big)+1\big)} {\big(1-\cot\big(x^{2}\big)\big)^{2}}

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