Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
está definida como uma razão entre duas expressões que envolvem
e
de
.
A pergunta é: calcular , ou seja, a derivada da função
em relação a
.
A pergunta é: calcular
Passo 2
Escolhemos o método: usar a regra do quociente, porque
tem a forma
. Vou explicar a regra do quociente de forma bem direta:
se então
se
Aqui
e
são as partes numerador e denominador;
e
são as derivadas delas. Não esqueça que, se dentro de
ou
aparecer
, precisaremos usar também a regra da cadeia (ou seja, multiplicar pela derivada do interior, que é
).
Passo 3
Identificamos
Agora derivamos
. Relembre a derivada de
em relação a
:
Aplicando regra da cadeia com
(cuja derivada é
), obtemos
Ou, escrito de forma mais compacta,
Passo 4
Agora derivamos
. A derivada de
em relação a
é
Usando a regra da cadeia com
(derivada
) e lembrando do sinal negativo em
, temos
Passo 5
Aplicamos a regra do quociente:
Substituindo
obtidos:
Passo 6
Fatoramos
e
no numerador para simplificar a expressão. Primeiro escrevendo o numerador:
Colocando
em evidência:
Passo 7
Expandimos o que está entre colchetes e usamos a identidade trigonométrica
para cancelar termos e simplificar:
Somando esses termos e substituindo
dá:
Logo o numerador fica
Passo 8
Substituindo
na fórmula do quociente, obtemos a forma simplificada da derivada:
Pode-se reescrever
como
se preferir, mas a expressão acima é a derivada final simplificada. Força aí — deu trabalho, mas chegamos!