Calcule as derivadas das funções:
y=\sqrt{2+\operatorname{sen}(\sqrt{x})}

Passo 1

Enunciado dado: a função
y=\sqrt{2+\operatorname{sen}(\sqrt{x})}
O que se pede: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou y').
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{a expressão de }y\text{ em termos de }x;\quad \sqrt{x}\text{ aparece, portanto a expressão está definida para }x\ge 0.ããá
Observação importante para usar depois: a derivada que vamos obter envolve \dfrac{1}{\sqrt{x}}, por isso a fórmula final será válida para x>0 (veremos isso ao final).

Passo 2

Estratégia geral (sem entrar em cálculos ainda): a função é uma composição de funções (várias camadas). Quando temos uma composição do tipo f(g(x)), usamos a regra da cadeia:
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando a regra da cadeia de forma simples: se uma variável depende de outra que depende de x, a taxa de variação total é o produto da taxa de variação externa avaliada na camada interna pela taxa de variação da camada interna. Vamos aplicar isso repetidamente porque há várias camadas.

Passo 3

Escrevendo a composição em camadas para ficar claro o que é cada coisa:
definimos
u(x)=\sqrt{x},\qquad v(x)=\operatorname{sen}(u(x)),\qquad w(x)=2+v(x),\qquad y(x)=\sqrt{w(x)}.
Assim y(x)=\big(w(x)\big)^{1/2} e estamos prontos para derivar camada por camada: y'(x)=\dfrac{dy}{dw}\cdot \dfrac{dw}{dv}\cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}.

Passo 4

Derivada da camada mais externa: se y=w^{1/2} (em que w=w(x)), então pela regra do poder:
\frac{dy}{dw}=\frac{1}{2}w^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{w}}.
Pequena aula: a regra do poder diz que \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}. Aqui n=\tfrac12.

Passo 5

Derivada da próxima camada: w(x)=2+v(x). A derivada de uma constante é zero, logo
\frac{dw}{dx}=\frac{dv}{dx}.
Mas vamos manter a decomposição por partes: \dfrac{dw}{dv}=1 e então precisamos de \dfrac{dv}{du} e \dfrac{du}{dx}.

Passo 6

Derivada da função seno composta: v(u)=\operatorname{sen}(u). Sabemos que
\frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\operatorname{cos}(u).
Portanto, usando cadeia para v(x)=\operatorname{sen}(u(x)),
\frac{dv}{dx}=\operatorname{cos}(u(x))\cdot \frac{du}{dx}.
(Isto é aplicação direta da regra da cadeia: derivada do seno avaliada em u(x) vezes u'(x).)

Passo 7

Derivada da camada interior: u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. Pela regra do poder,
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Pequena nota: essa expressão só é finita para x>0; em x=0 a derivada à esquerda/nos reais tem problema porque aparece 1/\sqrt{x}.

Passo 8

Agora juntamos tudo (multiplicando os fatores da regra da cadeia). Lembrando que \dfrac{dy}{dw}=\dfrac{1}{2\sqrt{w}}, \dfrac{dw}{dx}=\dfrac{dv}{dx}, \dfrac{dv}{dx}=\operatorname{cos}(u)\cdot \dfrac{du}{dx} e \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, obtemos:
y'=\frac{1}{2\sqrt{w}}\cdot \operatorname{cos}(u)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Agora substituímos w=2+\operatorname{sen}(u) e u=\sqrt{x} para escrever em termos de x:
y'=\frac{1}{2\sqrt{2+\operatorname{sen}(\sqrt{x})}}\cdot \operatorname{cos}(\sqrt{x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 9

Simplificando o produto de constantes:
y'=\frac{\operatorname{cos}(\sqrt{x})}{4\,\sqrt{x}\,\sqrt{2+\operatorname{sen}(\sqrt{x})}}.
Comentário sobre domínio: esta fórmula é válida para x>0. Em x=0 a expressão tem fator \dfrac{1}{\sqrt{x}} e, portanto, a derivada usual não existe (pelo menos não finita); se precisar da derivada lateral direita em 0 teríamos que analisar o limite separado.

Passo 10

Exemplo rápido para fixar a ideia: se fosse y=\sqrt{2+\operatorname{sen}(x)} (ou seja, sem \sqrt{x} dentro do seno), a derivada seria
y'=\frac{\operatorname{cos}(x)}{2\sqrt{2+\operatorname{sen}(x)}},
que é o mesmo padrão: derivada da raiz externa vezes derivada do interior (aqui apenas \operatorname{cos}(x)).

Resposta

y'=\frac{\operatorname{cos}(\sqrt{x})}{4\sqrt{x}\sqrt{2+\operatorname{sen}(\sqrt{x})}}

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