Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
Enunciado dado: a função
O que se pede: calcular a derivada
(ou
).
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
Observação importante para usar depois: a derivada que vamos obter envolve
, por isso a fórmula final será válida para
(veremos isso ao final).
Passo 2
Estratégia geral (sem entrar em cálculos ainda): a função é uma composição de funções (várias camadas). Quando temos uma composição do tipo
, usamos a regra da cadeia:
Explicando a regra da cadeia de forma simples: se uma variável depende de outra que depende de
, a taxa de variação total é o produto da taxa de variação externa avaliada na camada interna pela taxa de variação da camada interna. Vamos aplicar isso repetidamente porque há várias camadas.
Passo 3
Escrevendo a composição em camadas para ficar claro o que é cada coisa:
definimos
definimos
Assim
e estamos prontos para derivar camada por camada:
.
Passo 4
Derivada da camada mais externa: se
(em que
), então pela regra do poder:
Pequena aula: a regra do poder diz que
. Aqui
.
Passo 5
Derivada da próxima camada:
. A derivada de uma constante é zero, logo
Mas vamos manter a decomposição por partes:
e então precisamos de
e
.
Passo 6
Derivada da função seno composta:
. Sabemos que
Portanto, usando cadeia para
,
(Isto é aplicação direta da regra da cadeia: derivada do seno avaliada em
vezes
.)
Passo 7
Derivada da camada interior:
. Pela regra do poder,
Pequena nota: essa expressão só é finita para
; em
a derivada à esquerda/nos reais tem problema porque aparece
.
Passo 8
Agora juntamos tudo (multiplicando os fatores da regra da cadeia). Lembrando que
,
,
e
, obtemos:
Agora substituímos
e
para escrever em termos de
:
Passo 9
Simplificando o produto de constantes:
Comentário sobre domínio: esta fórmula é válida para
. Em
a expressão tem fator
e, portanto, a derivada usual não existe (pelo menos não finita); se precisar da derivada lateral direita em
teríamos que analisar o limite separado.
Passo 10
Exemplo rápido para fixar a ideia: se fosse
(ou seja, sem
dentro do seno), a derivada seria
que é o mesmo padrão: derivada da raiz externa vezes derivada do interior (aqui apenas
).