Calcule as derivadas das funções:
y=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x}} e pede para calcular a derivada dessa função em relação a x.
Informações relevantes: a função é uma composição de exponenciais — por fora temos \mathrm{e}^{(\cdot)} e por dentro também temos \mathrm{e}^{x}. A tarefa é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra básica e muito útil (vou explicar bem devagar): se você tem uma função composta da forma y=\mathrm{e}^{u(x)}, ou seja, a exponencial de alguma função u(x), então a derivada é dada por
\frac{d}{dx}\big(\mathrm{e}^{u(x)}\big)=\mathrm{e}^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando em palavras: a exponencial mantém a mesma forma \mathrm{e}^{u(x)} e você multiplica pelo derivado da parte interna u'(x). Isso é um caso particular da regra da cadeia (chain rule), que diz: para y=f(g(x)), temos y'=f'(g(x))\cdot g'(x).

Passo 3

No nosso problema identifique claramente a parte externa e a parte interna da composição. Definimos
u(x)=\mathrm{e}^{x},
de modo que
y=\mathrm{e}^{u(x)}.
Aqui a “parte externa” é f(u)=\mathrm{e}^{u} e a “parte interna” é u(x)=\mathrm{e}^{x}.

Passo 4

Calcule o derivado da parte interna u(x). Como a função exponencial básica tem a propriedade de que a derivada de \mathrm{e}^{x} é ela mesma, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\mathrm{e}^{x}\big)=\mathrm{e}^{x}.
Breve lembrete: isso vale porque a derivada da função exponencial natural não altera a forma — é uma propriedade fundamental de \mathrm{e}^{x}.

Passo 5

Agora aplique a regra da cadeia (ou a fórmula do Passo 2): a derivada de y=\mathrm{e}^{u(x)} é
y'=\mathrm{e}^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\mathrm{e}^{x} e u'(x)=\mathrm{e}^{x} obtemos
y'=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x}}\cdot \mathrm{e}^{x}.

Passo 6

Podemos escrever a resposta de forma equivalente, juntando as potências do e:
y'=\mathrm{e}^{x+\mathrm{e}^{x}}.
Mas em provas normalmente a forma \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x}}\cdot \mathrm{e}^{x} deixa explícito o uso da regra da cadeia, o que é bom para ganhar pontos.

Passo 7

Para fixar: se quiser verificar num ponto, por exemplo x=0, basta substituir na expressão final. Temos \mathrm{e}^{0}=1 e \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{0}}=\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}, então
y'(0)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{0}}\cdot \mathrm{e}^{0}=\mathrm{e}\cdot 1=\mathrm{e},
o que faz sentido e confirma o procedimento.

Resposta

\displaystyle y'=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x}}\cdot \mathrm{e}^{x}

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