Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função em relação a
.
Informações relevantes: a função é uma composição de exponenciais — por fora temos e por dentro também temos
. A tarefa é encontrar
.
Informações relevantes: a função é uma composição de exponenciais — por fora temos
Passo 2
Vamos lembrar uma regra básica e muito útil (vou explicar bem devagar): se você tem uma função composta da forma
, ou seja, a exponencial de alguma função
, então a derivada é dada por
Explicando em palavras: a exponencial mantém a mesma forma
e você multiplica pelo derivado da parte interna
. Isso é um caso particular da regra da cadeia (chain rule), que diz: para
, temos
.
Passo 3
No nosso problema identifique claramente a parte externa e a parte interna da composição. Definimos
de modo que
Aqui a “parte externa” é
e a “parte interna” é
.
Passo 4
Calcule o derivado da parte interna
. Como a função exponencial básica tem a propriedade de que a derivada de
é ela mesma, temos
Breve lembrete: isso vale porque a derivada da função exponencial natural não altera a forma — é uma propriedade fundamental de
.
Passo 5
Agora aplique a regra da cadeia (ou a fórmula do Passo 2): a derivada de
é
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Podemos escrever a resposta de forma equivalente, juntando as potências do
:
Mas em provas normalmente a forma
deixa explícito o uso da regra da cadeia, o que é bom para ganhar pontos.
Passo 7
Para fixar: se quiser verificar num ponto, por exemplo
, basta substituir na expressão final. Temos
e
, então
o que faz sentido e confirma o procedimento.