Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=x+e^{-x}, \quad x=0

Passo 1

O enunciado dá a função y = x + e^{-x} e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é x=0.\n
Informações relevantes:
  • Função: y = x + e^{-x}.
  • Ponto onde queremos a tangente: abscissa x_0 = 0.
  • O que se pede: a equação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa x_0.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado como em sala, devagar e com jeitinho): a reta tangente à curva de uma função y=f(x) no ponto de abscissa x=a tem equação
y = f(a) + f'(a)\,(x-a).
Aqui:
  • f(a) é a altura (ordenada) da curva no ponto x=a;
  • f'(a) é a derivada de f em a, que representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente;
  • x e y são as variáveis da equação da reta.
    Explicando a derivada em linguagem simples: a derivada f'(a) é o limite do quociente de variação da função quando a variação em x tende a zero — intuitivamente, é a “inclinação instantânea” da curva naquele ponto. Para funções compostas como e^{u(x)}, usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{u(x)} = u'(x)\,e^{u(x)}.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função f(x)=x+e^{-x}. Separei em dois termos:
  • Derivada de x é 1.
  • Para e^{-x}, aplicamos a regra da cadeia com u(x)=-x. Temos u'(x)=-1 e, portanto,
\frac{d}{dx}e^{-x} = u'(x)\,e^{u(x)} = (-1)\,e^{-x} = -e^{-x}.
Somando os dois termos:
f'(x) = 1 + (-e^{-x}) = 1 - e^{-x}.
Aqui eu mostrei passo a passo o porquê da derivada do exponencial com argumento -x.

Passo 4

Agora avaliamos f e f' em x_0=0.
Calculemos f(0):
f(0) = 0 + e^{0} = 1.
Calculemos f'(0):
f'(0) = 1 - e^{0} = 1 - 1 = 0.
Interpretação: a inclinação da reta tangente em x=0 é 0, ou seja, a tangente é horizontal no ponto, passando pela altura y=1.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da reta tangente com a=0:
y = f(0) + f'(0)\,(x-0).
Substituindo os valores que encontramos:
y = 1 + 0\cdot(x) = 1.
Portanto, a reta tangente é a reta horizontal de equação y=1. Isso significa que, perto de x=0, a função é aproximada por y\approx 1.

Resposta

y=1

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