Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é
.\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto onde queremos a tangente: abscissa
. - O que se pede: a equação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado como em sala, devagar e com jeitinho): a reta tangente à curva de uma função
no ponto de abscissa
tem equação
Aqui:
-
é a altura (ordenada) da curva no ponto ; -
é a derivada de em , que representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente; -
e são as variáveis da equação da reta.
Explicando a derivada em linguagem simples: a derivadaé o limite do quociente de variação da função quando a variação em tende a zero — intuitivamente, é a “inclinação instantânea” da curva naquele ponto. Para funções compostas como , usamos a regra da cadeia: .
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. Separei em dois termos:
- Derivada de
é . - Para
, aplicamos a regra da cadeia com . Temos e, portanto,
Somando os dois termos:
Aqui eu mostrei passo a passo o porquê da derivada do exponencial com argumento
.
Passo 4
Agora avaliamos
e
em
.
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
:
Interpretação: a inclinação da reta tangente em
é
, ou seja, a tangente é horizontal no ponto, passando pela altura
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da reta tangente com
:
Substituindo os valores que encontramos:
Portanto, a reta tangente é a reta horizontal de equação
. Isso significa que, perto de
, a função é aproximada por
.