Encontre as derivadas de:
(b) f(t)=\arcsin (\sqrt{4 t})

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=\arcsin\big(\sqrt{4t}\big).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma composição: primeiro fazemos \sqrt{4t} e depois \arcsin desse resultado.
  • Pelo símbolo \sqrt{\cdot} precisamos de 4t\ge 0, ou seja t\ge 0.
  • Pelo \arcsin o argumento deve satisfazer -1\le \sqrt{4t}\le 1. Como \sqrt{4t}\ge 0, isso fica 0\le \sqrt{4t}\le 1, que equivale a 0\le t\le \tfrac{1}{4}.
  • Portanto a função está definida em t\in[0,\tfrac{1}{4}].
  • A derivada que vamos calcular será, na forma final, válida onde as fórmulas derivadas forem bem definidas (tipicamente em 0<t<\tfrac{1}{4}).

Passo 2

Regra que vamos usar: cadeia (chain rule). Explicando didaticamente:
  • Se temos uma composição F(x)=g(h(x)), a derivada é dada por
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
  • Aqui g é a função exterior (no nosso caso g(u)=\arcsin(u)) e h é a função interior (no nosso caso h(t)=\sqrt{4t}).
  • Ou seja, para f(t)=g(h(t)) calculamos primeiro g' em u=h(t) e multiplicamos por h'(t).

Passo 3

Derivada de \arcsin. Vamos lembrar e demonstrar passo a passo:
  • Para a função g(u)=\arcsin(u) vale a conhecida fórmula (obtida por diferenciação implícita):
g'(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Breve justificativa: se y=\arcsin(u) então \sin y=u. Diferenciando em relação a u: \cos y\cdot \dfrac{dy}{du}=1. Assim \dfrac{dy}{du}=1/\cos y. Como \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-u^{2}} (escolhemos o sinal positivo porque \arcsin retorna valores em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] onde \cos y\ge0), obtemos g'(u)=1/\sqrt{1-u^{2}}.
  • Portanto, aplicando a cadeia, a contribuição da parte \arcsin será \dfrac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{4t})^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-4t}} (quando isso estiver definido).

Passo 4

Derivada de \sqrt{4t}. Vamos reescrever e derivar passo a passo:
  • Escrevemos \sqrt{4t}=(4t)^{1/2}.
  • Usamos a regra da potência com cadeia: se h(t)=(4t)^{1/2}, então
h'(t)=\frac{1}{2}(4t)^{-1/2}\cdot 4.
  • Calculando o produto: \dfrac{1}{2}\cdot 4=2, logo
h'(t)=2(4t)^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{4t}}.
  • Podemos simplificar usando \sqrt{4t}=2\sqrt{t}, então
h'(t)=\frac{2}{2\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{t}},
válido para t>0. (Em t=0 essa derivada não é finita.)

Passo 5

Combinação das duas derivadas usando a regra da cadeia:
  • Pela regra da cadeia,
f'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{4t})^{2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}.
  • Como (\sqrt{4t})^{2}=4t, isso fica
f'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-4t}}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{t}\,\sqrt{1-4t}}.
  • Podemos juntar as raízes:
f'(t)=\frac{1}{\sqrt{t(1-4t)}}.

Passo 6

Interpretação final e domínio da derivada:
  • A expressão \dfrac{1}{\sqrt{t(1-4t)}} só faz sentido (finita) quando t>0 e 1-4t>0, ou seja 0<t<\tfrac{1}{4}.
  • Em t=0 a derivada explode (denominador nulo por \sqrt{t}), e em t=\tfrac{1}{4} o denominador também vai a zero por \sqrt{1-4t}. Logo a derivada só existe e é finita para t\in\big(0,\tfrac{1}{4}\big).
  • Observação intuitiva: a função é crescente nesse intervalo, já que a derivada é positiva ali.

Resposta

f'(t)=\frac{1}{\sqrt{t(1-4t)}},\qquad 0<t<\tfrac{1}{4}.

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