Encontre as derivadas de:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é uma composição: primeiro fazemos
e depois desse resultado. - Pelo símbolo
precisamos de , ou seja . - Pelo
o argumento deve satisfazer . Como , isso fica , que equivale a . - Portanto a função está definida em
. - A derivada que vamos calcular será, na forma final, válida onde as fórmulas derivadas forem bem definidas (tipicamente em
).
Passo 2
Regra que vamos usar: cadeia (chain rule). Explicando didaticamente:
- Se temos uma composição
, a derivada é dada por
- Aqui
é a função exterior (no nosso caso ) e é a função interior (no nosso caso ). - Ou seja, para
calculamos primeiro em e multiplicamos por .
Passo 3
Derivada de
. Vamos lembrar e demonstrar passo a passo:
- Para a função
vale a conhecida fórmula (obtida por diferenciação implícita):
Breve justificativa: se
então
. Diferenciando em relação a
:
. Assim
. Como
(escolhemos o sinal positivo porque
retorna valores em
onde
), obtemos
.
- Portanto, aplicando a cadeia, a contribuição da parte
será (quando isso estiver definido).
Passo 4
Derivada de
. Vamos reescrever e derivar passo a passo:
- Escrevemos
. - Usamos a regra da potência com cadeia: se
, então
- Calculando o produto:
, logo
- Podemos simplificar usando
, então
válido para
. (Em
essa derivada não é finita.)
Passo 5
Combinação das duas derivadas usando a regra da cadeia:
- Pela regra da cadeia,
- Como
, isso fica
- Podemos juntar as raízes:
Passo 6
Interpretação final e domínio da derivada:
- A expressão
só faz sentido (finita) quando e , ou seja . - Em
a derivada explode (denominador nulo por ), e em o denominador também vai a zero por . Logo a derivada só existe e é finita para . - Observação intuitiva: a função é crescente nesse intervalo, já que a derivada é positiva ali.