Calcule as derivadas laterais, pela definição, nos pontos onde a função não é derivável:
Passo 1
A função é definida por três ramos: para x<-2 temos f(x)=2−x², para |x|≤2 temos f(x)=−2 e para x>2 temos f(x)=2x−6. Os pontos onde o comportamento muda são x=−2 e x=2, e é exatamente aí que precisamos calcular as derivadas laterais pela definição.
Passo 2
A derivada lateral esquerda em a é definida como limhto0^-f(a+h)−f(a)h e a derivada lateral direita como limhto0^+f(a+h)−f(a)h. Vamos aplicar isso em a=−2 e a=2.
Passo 3
Em x=−2, para a derivada lateral esquerda usamos o ramo f(x)=2−x². Calculamos f(−2+h)=2−(−2+h)²=−2+4h−h² e f(−2)=−2. Então f(−2+h)−f(−2)h=4h−h²h=4−h², e fazendo h→0^- obtemos 4. Para a derivada lateral direita em x=−2 usamos o ramo constante f(x)=−2, de onde f(−2+h)−f(−2)h=0, logo f’₋(−2)=4 e f’₊(−2)=0.
Passo 4
Em x=2, para a derivada lateral esquerda usamos o ramo constante f(x)=−2, de onde f(2+h)−f(2)h=0 para h→0^- e f’₋(2)=0. Para a derivada lateral direita usamos f(x)=2x−6, calculamos f(2+h)=2(2+h)−6=−2+2h e f(2)=−2, então f(2+h)−f(2)h=2, logo f’₊(2)=2.
Resposta
Em x = −2: f'-(-2)=4 e f'+(-2)=0. Em x = 2: f'-(2)=0 e f'+(2)=2.