O lado de um triângulo equilátero diminui a uma taxa de 2 cm / s. Determine a taxa com que a área do triângulo diminui quando esta é 100 cm^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo equilátero cujo lado s está diminuindo a uma taxa de dsdt = -2 cm/s. Precisamos encontrar a taxa de variação da área A em relação ao tempo quando A = 100 cm^2. O conteúdo envolvido é relações de taxas relacionadas (derivadas implícitas).

Passo 2

Para um triângulo equilátero de lado s, a área é dada por
A = raiz34,s^2

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, lembrando que s depende de t:
dAdt = raiz34 cdot 2s cdot dsdt = raiz32,s,dsdt

Passo 4

Precisamos do valor de s quando A = 100. Então
100 = raiz34,s^2 Longrightarrow s^2 = 400raiz3 Longrightarrow s = raiz400raiz3

Passo 5

Agora substituímos s e dsdt = -2 em dAdt:
dAdt = raiz32 cdot raiz400raiz3 cdot (-2)

Passo 6

Vamos simplificar:
dAdt = -raiz3 ; raiz400raiz3 ;=;-20,3^1/4

Passo 7

Portanto, a área está diminuindo nessa taxa naquele instante.

Resposta

-20,3^1/4 cm^2/s

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