Uma pedra é lançada em um lago produzindo uma onda circular que se propaga com velocidade 25 cm / s. Encontre a razão com que a área do círculo varia após 4 s .

Passo 1

O enunciado diz que ao lançar uma pedra temos uma onda circular que se expande com velocidade constante de 25 cm/s e quer saber como varia a área desse círculo após 4 s. O conteúdo envolve derivadas de funções relacionadas (regra da cadeia) e a fórmula da área de um círculo.

Passo 2

A velocidade de propagação da onda é a variação do raio em função do tempo, ou seja, temos
r(t)=25,t
e portanto
drdt=25(cm/s)

Passo 3

A área do círculo em função do tempo é dada por
A(t)=pi,r(t)^2=pi,(25t)^2=625pi,t^2

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação da área, derivamos A(t) em relação a t. Usando a regra do poder e a constante, obtemos
dAdt=2cdot625pi,t=1250pi,t

Passo 5

Bastando avaliar em t=4,s, temos
dAdt|t=4=1250picdot4=5000pi,cm^2/s

Resposta

5000π cm^2/s

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