Calcule as derivadas de ordem superior indicada: (b) d^2/dt^2 (t^2 * sen(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a segunda derivada de . Isso significa que vamos encontrar a derivada de ordem dois dessa função. Para isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos o produto de duas funções, além de saber como derivar funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto. Se temos duas funções e , a derivada do produto delas é:
Isso significa que derivamos cada função individualmente e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra para encontrar a primeira derivada de .
Seja:
  • então
  • então
Aplicando a regra do produto:
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada. Para isso, precisamos derivar novamente a expressão que obtivemos:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Aplicando a regra do produto:
  • então
  • então
Derivando:
Segundo termo:
Aplicando a regra do produto novamente:
  • então
  • então
Derivando:

Passo 5

Agora, vamos somar as derivadas dos dois termos:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A segunda derivada de é:

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