Calcule as derivadas de ordem superior indicada: (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a segunda derivada de . Isso significa que vamos encontrar a derivada de ordem dois dessa função. Para isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos o produto de duas funções, além de saber como derivar funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto. Se temos duas funções
e
, a derivada do produto delas é:
Isso significa que derivamos cada função individualmente e somamos os resultados.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa regra para encontrar a primeira derivada de .
Seja:
-
então - então
Aplicando a regra do produto:
Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada. Para isso, precisamos derivar novamente a expressão que obtivemos:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Aplicando a regra do produto:
-
então - então
Derivando:
Segundo termo:
Aplicando a regra do produto novamente:
-
então -
então
Derivando:
Passo 5
Agora, vamos somar as derivadas dos dois termos:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
A segunda derivada de é: