Calcule a integral dupla:
integral duplaR x y e^y d A ; R=(x, y) ; 0 <= x <= 2 ; 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de sobre a região definida por e . Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas e vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma explícita com os limites dados:
integral duplaR x , y , e^y , dA = integralx=0^2 integraly=0^1 x , y , e^y , dy , dx
Aqui, estamos integrando de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a 2.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 x , y , e^y , dy . Note que x integral0^1 y , e^y , dy é tratado como uma constante durante esta integração. Então, precisamos calcular:
Podemos tirar o para fora da integral:

Passo 4

Para resolver integral u , dv = u , v - integral v , du , usamos a técnica de integração por partes. Lembrando que:
integral y , e^y , dy = y , e^y - integral e^y , dy = y , e^y - e^y + C = e^y (y - 1) + C
Vamos escolher:
  • então
  • então
Aplicando a integração por partes:

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
x integral0^1 y , e^y , dy = x [ e^y (y - 1) ]0^1
Calculando nos limites x [ e^1 (1 - 1) - e^0 (0 - 1) ] = x [ 0 - (-1) ] = x times 1 = x e :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral em integral0^2 x , dx :
Esta é uma integral simples de em relação a .

Passo 7

Calculando a integral:
integral0^2 x , dx = [ 12 x^2 ]0^2 = 12 (2)^2 - 12 (0)^2 = 12 times 4 - 0 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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