Calcule a integral dupla:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de
sobre a região
definida por
e
. Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas e vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma explícita com os limites dados:
Aqui, estamos integrando
de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 a 2.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Note que
é tratado como uma constante durante esta integração. Então, precisamos calcular:
Podemos tirar o
para fora da integral:
Passo 4
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Vamos escolher:
-
então -
então
Aplicando a integração por partes:
Passo 5
Voltando à nossa integral original:
Calculando nos limites
e
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Esta é uma integral simples de
em relação a
.
Passo 7
Calculando a integral:
Resposta
O valor da integral dupla é 2.