Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função
é dita homogênea de grau
se
Definição: Uma equação diferencial da forma
é dita uma equação diferencial homogênea se
e
são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis
e
), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo
à solução obtida (retirando-se
da resposta).
.
Definição: Uma função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos verificar se essa equação é homogênea e, se for, calcular a solução geral dela. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais homogêneas e algumas técnicas de mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é homogênea. Uma equação diferencial da forma
é dita homogênea se as funções
e
são homogêneas do mesmo grau.
Na nossa equação, podemos reescrever como:
Então,
e
.
Agora, vamos verificar a homogeneidade:
- Para
, que é , ou seja, grau 1. - Para
, que também é grau 1.
Como
e
são homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos usar a mudança de coordenadas sugerida:
Aqui,
é uma nova variável que vamos usar para simplificar a equação.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando isso:
Podemos dividir todos os termos por
(desde que
):
Agora, vamos reorganizar os termos:
Mas isso parece um pouco complicado. Em vez disso, vamos isolar os termos com
e
. Retomando:
Dividindo por
:
Agora, vamos rearranjar para isolar
:
Mas percebi que estamos complicando mais. Uma abordagem melhor é dividir a equação original por
:
Original:
Dividindo por
:
Agora, isso parece uma equação linear de primeira ordem.
Passo 5
Vamos resolver a equação linear:
Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equa�o pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: