Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função f(t, y) é dita homogênea de grau n se
f(lambda t, lambda y) = lambda^n f(t, y) , n em R
Definição: Uma equação diferencial da forma
M(t, y) dt + N(t, y) dy = 0
é dita uma equação diferencial homogênea se M e N são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
y = t x dy = t dx + x dt
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis t e x ), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo y à solução obtida (retirando-se x da resposta).
t y' - 2 y = 3 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos verificar se essa equação é homogênea e, se for, calcular a solução geral dela. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais homogêneas e algumas técnicas de mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é homogênea. Uma equação diferencial da forma é dita homogênea se as funções e são homogêneas do mesmo grau.
Na nossa equação, podemos reescrever como:
Então, e .
Agora, vamos verificar a homogeneidade:
  • Para , que é , ou seja, grau 1.
  • Para , que também é grau 1.
Como e são homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos usar a mudança de coordenadas sugerida:
Aqui, é uma nova variável que vamos usar para simplificar a equação.

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:
Simplificando isso:
Podemos dividir todos os termos por (desde que ):
Agora, vamos reorganizar os termos:
Mas isso parece um pouco complicado. Em vez disso, vamos isolar os termos com e . Retomando:
Dividindo por :
Agora, vamos rearranjar para isolar :
Mas percebi que estamos complicando mais. Uma abordagem melhor é dividir a equação original por :
Original:
Dividindo por :
Agora, isso parece uma equação linear de primeira ordem.

Passo 5

Vamos resolver a equação linear:
Primeiro, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equa�o pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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