Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla. Isso significa que a gente vai integrar uma função em duas variáveis, no caso, , sobre uma região específica . A região está definida por e . Para resolver isso, vamos usar o método de integrais iteradas, que basicamente integra uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar em relação a uma variável, e depois em relação à outra. Podemos escolher qual variável integrar primeiro, mas vamos começar integrando em relação a . Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é . Para integrar em relação a , usamos uma substituição simples. Seja , então . Quando , , e quando , . Então, a integral vira:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, nosso próximo passo é integrar o resultado em relação a integral1^2 [ln(x + 1) - ln(x)] , dx . Ou seja, temos que calcular:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, x ln(x + 1) - integral xx + 1 , dx . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
x ln(x + 1) - ( integral 1 , dx - integral 1x + 1 , dx ) = x ln(x + 1) - x + ln(x + 1) então (2 ln 3 - 2 + ln 3) - (1 ln 2 - 1 + ln 2) = 3 ln 3 - 2 - 2 ln 2 + 1
3 ln 3 - 2 ln 2 - 1 então x ln(x) - integral x cdot 1x dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x
Aplicando a fórmula de integração por partes 2 ln 2 - 2 - (1 ln 1 - 1) = 2 ln 2 - 2 - (0 - 1) = 2 ln 2 - 1 :
Simplificando , então:
Avaliado de 1 a 2, dá:
Simplificando:
Agora, a segunda integral . Usando integração por partes novamente: