Calcule a integral dupla:
integral duplaR 1x+y d A ; R=(x, y) ; 1 <= x <= 2 ; 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla. Isso significa que a gente vai integrar uma função em duas variáveis, no caso, , sobre uma região específica . A região está definida por e . Para resolver isso, vamos usar o método de integrais iteradas, que basicamente integra uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar em relação a uma variável, e depois em relação à outra. Podemos escolher qual variável integrar primeiro, mas vamos começar integrando em relação a integralx=1^2 ( integraly=0^1 1x + y , dy ) dx . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é integralu=x^x+1 1u , du = ln|u| |x^x+1 = ln(x + 1) - ln(x) . Para integrar em relação a , usamos uma substituição simples. Seja , então . Quando , , e quando , . Então, a integral vira:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, nosso próximo passo é integrar o resultado em relação a integral1^2 [ln(x + 1) - ln(x)] , dx . Ou seja, temos que calcular:
integral1^2 ln(x + 1) , dx - integral1^2 ln(x) , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, x ln(x + 1) - integral xx + 1 , dx . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
  • x ln(x + 1) - ( integral 1 , dx - integral 1x + 1 , dx ) = x ln(x + 1) - x + ln(x + 1) então (2 ln 3 - 2 + ln 3) - (1 ln 2 - 1 + ln 2) = 3 ln 3 - 2 - 2 ln 2 + 1
  • 3 ln 3 - 2 ln 2 - 1 então x ln(x) - integral x cdot 1x dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x
Aplicando a fórmula de integração por partes 2 ln 2 - 2 - (1 ln 1 - 1) = 2 ln 2 - 2 - (0 - 1) = 2 ln 2 - 1 :
Simplificando , então:
Avaliado de 1 a 2, dá:
Simplificando:
Agora, a segunda integral . Usando integração por partes novamente:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula:
Avaliado de 1 a 2, dá:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
(3 ln 3 - 2 ln 2 - 1) - (2 ln 2 - 1) = 3 ln 3 - 4 ln 2

Resposta

A integral dupla é igual a .

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