Calcule a integral iterada:
integral0^1 integralx^2 x(2 x+4 y) d y d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla, que significa integrar uma função de duas variáveis. A função que vamos integrar é e os limites de integração são de até para a variável , e de até para a variável . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração iterada, que é basicamente integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integralx^2x (2x + 4y) , dy = 2x y + 2y^2 |y = x^y = 2x em relação a , mantendo como constante. A integral de em relação a é porque é constante. Já a integral de em relação a é , já que a integral de é e multiplicamos por 4. Então, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 2x (2x) + 2(2x)^2 = 4x^2 + 8x^2 = 12x^2 . Primeiro substituímos 2x (x) + 2(x)^2 = 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 :
12x^2 - 4x^2 = 8x^2
Depois, substituímos :
Subtraindo o valor inferior do superior:
Então, a integral interna resultou em .

Passo 4

Agora, vamos integrar integral0^1 8x^2 , dx = 8 integral0^1 x^2 , dx = 8 [ x^33 ]0^1 = 8 ( 13 - 0 ) = 83 em relação a de 0 a 1. A integral de é , então temos:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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