Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla, que significa integrar uma função de duas variáveis. A função que vamos integrar é e os limites de integração são de até para a variável , e de até para a variável . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração iterada, que é basicamente integrar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função em relação a , mantendo como constante. A integral de em relação a é porque é constante. Já a integral de em relação a é , já que a integral de é e multiplicamos por 4. Então, a integral interna fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 2x (2x) + 2(2x)^2 = 4x^2 + 8x^2 = 12x^2 . Primeiro substituímos 2x (x) + 2(x)^2 = 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 :
12x^2 - 4x^2 = 8x^2
Depois, substituímos :
Subtraindo o valor inferior do superior:
Então, a integral interna resultou em .
Passo 4
Agora, vamos integrar integral0^1 8x^2 , dx = 8 integral0^1 x^2 , dx = 8 [ x^33 ]0^1 = 8 ( 13 - 0 ) = 83 em relação a de 0 a 1. A integral de é , então temos: