Calcule as derivadas parciais.
z=cosh(t-cos x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função z = cosh(t - cos x) . Isso significa que vamos encontrar como z muda em relação a cada uma das variáveis, x e t , mantendo a outra constante. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e conhecer um pouco sobre funções hiperbólicas, especificamente a derivada da função cosseno hiperbólico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x , ou seja, partial zpartial x .
A função z é composta por uma função hiperbólica cosseno aplicada a (t - cos x) . Para derivar isso em relação a x , usamos a regra da cadeia:
partial zpartial x = sinh(t - cos x) cdot ddx(t - cos x)
Agora, vamos derivar o que está dentro do cosseno hiperbólico:
ddx(t - cos x) = 0 - (-sin x) = sin x
Então, substituindo de volta:
partial zpartial x = sinh(t - cos x) cdot sin x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a t , ou seja, partial zpartial t .
Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada do cosseno hiperbólico é o seno hiperbólico:
partial zpartial t = sinh(t - cos x) cdot ddt(t - cos x)
Derivando o que está dentro:
ddt(t - cos x) = 1 - 0 = 1
Então, substituindo de volta:
partial zpartial t = sinh(t - cos x) cdot 1 = sinh(t - cos x)

Resposta

As derivadas parciais da função z = cosh(t - cos x) são:
partial zpartial x = sinh(t - cos x) cdot sin x
e
partial zpartial t = sinh(t - cos x)

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