Calcule as derivadas parciais.
U=e^-rtr

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função U = e^-rtr . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de diferenciação para funções exponenciais e como aplicar derivadas em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Em funções com mais de uma variável, como é o caso de U = e^-rtr , a derivada parcial em relação a uma variável significa que derivamos a função mantendo a outra variável constante. Aqui, temos duas variáveis: r e t . Vamos calcular as derivadas parciais de U em relação a cada uma delas.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de U em relação a r , ou seja, partial Upartial r .
A função é U = e^-rtr . Para derivar isso em relação a r , usamos a regra do quociente, já que temos uma divisão.
A regra do quociente diz que se U = f(r)g(r) , então:
dUdr = f'(r)g(r) - f(r)g'(r)[g(r)]^2
Aqui, f(r) = e^-rt e g(r) = r .
Primeiro, derivamos f(r) :
f'(r) = ddr e^-rt = -t e^-rt
Agora, derivamos g(r) :
g'(r) = ddr r = 1
Aplicando a regra do quociente:
partial Upartial r = (-t e^-rt) cdot r - e^-rt cdot 1r^2 = -rt e^-rt - e^-rt r^2 = -e^-rt(rt + 1) r^2 = -e^-rt(rt + 1)r^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de U em relação a t , ou seja, partial Upartial t .
A função é U = e^-rtr . Como estamos derivando em relação a t , r é considerado uma constante.
A derivada de e^-rt em relação a t é:
ddt e^-rt = -r e^-rt
Então,
partial Upartial t = -r e^-rt r = -e^-rt

Resposta

As derivadas parciais de U = e^-rtr são:
partial Upartial r = -e^-rt(rt + 1)r^2
e
partial Upartial t = -e^-rt

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