Calcule as derivadas parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de diferenciação para funções exponenciais e como aplicar derivadas em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Em funções com mais de uma variável, como é o caso de
, a derivada parcial em relação a uma variável significa que derivamos a função mantendo a outra variável constante. Aqui, temos duas variáveis:
e
. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma delas.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do quociente, já que temos uma divisão.
A regra do quociente diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Como estamos derivando em relação a
,
é considerado uma constante.
A derivada de
em relação a
é:
Então,
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e