Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime+4 cdot y=(t^2-3) cdot sen(2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + 4y = l(t^2 - 3r),sin(2t)
pelo método dos coeficientes indeterminados. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar a solução geral da homogênea usando a equação característica.
  2. Propor um ansatz para a solução particular levando em conta o termo forçante l(t^2-3r)sin(2t) e o fato de sin(2t) aparecer na homogênea (ressonância).
  3. Determinar os coeficientes resolvendo um sistema linear.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0
cuja solução é r = pm 2i. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

O termo não-homogêneo é l(t^2-3r)sin(2t). Sem ressonância, o ansatz seria
(A t^2 + B t + C),sin(2t) + (D t^2 + E t + F),cos(2t)
Porém sin(2t) e cos(2t) já estão na homogênea, portanto multiplicamos o palpite por t. Nosso ansatz final é
yp(t) = l(a t^3 + b t^2 + c tr)sin(2t) + l(d t^3 + e t^2 + f tr)cos(2t)

Passo 4

Calculamos
yp' = l(u' - 2vr)sin(2t) + l(2u + v'r)cos(2t),
yp'' = l((u' - 2v)' - 2(2u + v')r)sin(2t) + l(2(u' - 2v) + (2u + v')'r)cos(2t),
onde u(t)=a t^3+b t^2+c t e v(t)=d t^3+e t^2+f t. Substituindo em y''+4y e igualando ao forçante (t^2-3)sin(2t), obtém-se um sistema linear para a,b,c,d,e,f.

Passo 5

Resolvendo o sistema encontra-se
a = 0, b = tfrac116, c = 0, d = -tfrac112, e = 0, f = tfrac2532
Logo a solução particular é
yp(t) = t^216,sin(2t) +l(-tfrac112t^3 + tfrac2532tr)cos(2t)

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a solução particular:
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + t^216,sin(2t) + l(-tfrac112t^3 + tfrac2532tr)cos(2t)

Resposta

y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + t^216,sin(2t) + l(-tfrac112t^3 + tfrac2532tr)cos(2t)

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