Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
pelo método dos coeficientes indeterminados. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
- Encontrar a solução geral da homogênea usando a equação característica.
- Propor um ansatz para a solução particular levando em conta o termo forçante
e o fato de aparecer na homogênea (ressonância). - Determinar os coeficientes resolvendo um sistema linear.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
cuja solução é
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
O termo não-homogêneo é
. Sem ressonância, o ansatz seria
Porém
e
já estão na homogênea, portanto multiplicamos o palpite por
. Nosso ansatz final é
Passo 4
Calculamos
onde
e
. Substituindo em
e igualando ao forçante
, obtém-se um sistema linear para
.
Passo 5
Resolvendo o sistema encontra-se
Logo a solução particular é
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a solução particular: