Suponhamos que temos uma EDO da forma d yd t=f(yt), como por exemplo, d yd t=sen(yt). As equações dessa forma são chamadas de equações diferenciais homogêneas. Como o segundo membro depende da variável yt, isso nos sugere fazer a substituição yt=v, ou seja, y=t v.
(a) Mostre que esta mudança, substitui a equação d yd t=f(yt), pela equação equivalente t cdot d vd t+v=f(v), a qual é separável
(b) Resolva a EDO d yd t=2 cdot(yt)+(yt)^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma d yd t = f(yt), por exemplo, d yd t = sin(yt). Essas equações são chamadas de homogêneas porque o segundo membro depende somente da razão yt. A questão tem duas partes:
a) Mostrar que, fazendo a substituição v = yt, a EDO se transforma em t cdot d vd t + v = f(v), que é uma equação separável.
b) Resolver a EDO específica d yd t = 2 cdot (yt) + (yt)^2.
Vamos usar a substituição sugerida e técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos abordar a parte (a). Queremos mostrar que a substituição v = yt transforma a EDO original em t cdot d vd t + v = f(v).

Passo 3

Vamos substituir y = t cdot v. Para encontrar d yd t, usamos a regra do produto:
d yd t = dd t(t cdot v) = t cdot d vd t + v

Passo 4

Agora substituímos d yd t e y = t cdot v na EDO original:
t cdot d vd t + v = f(yt) = f(v)
Então, a equação fica:
t cdot d vd t + v = f(v)

Passo 5

Rearranjando a equação:
t cdot d vd t = f(v) - v
E então:
d vd t = f(v) - vt
Isso mostra que a equação transformada é t cdot d vd t + v = f(v) , que pode ser escrita como uma equação separável.

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b), onde a EDO específica é d yd t = 2 cdot (yt) + (yt)^2.
Primeiro, aplicamos a substituição v = yt, então y = t cdot v. Como fizemos na parte (a), temos:
d yd t = t cdot d vd t + v
Substituindo na EDO:
t cdot d vd t + v = 2 v + v^2
Rearranjando:
t cdot d vd t = 2 v + v^2 - v = v (2 + v -1) = v (1 + v)
Assim:
d vd t = v (1 + v)t

Passo 7

Agora, a equação é separável:
1v (1 + v) , d v = 1t , d t

Passo 8

Integrando ambos os lados:
integral 1v (1 + v) , d v = integral 1t , d t
Para a integral da esquerda, usamos a decomposição em frações parciais:
1v (1 + v) = 1v - 11 + v
Então:
integral ( 1v - 11 + v ) d v = ln |v| - ln |1 + v| + C1
A integral da direita:
integral 1t , d t = ln |t| + C2

Passo 9

Igualando os resultados das integrais e combinando as constantes:
ln |v| - ln |1 + v| = ln |t| + C
Onde C = C2 - C1 é uma constante de integração.

Passo 10

Podemos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos:
ln ( v1 + v ) = ln |t| + C
Aplicando a exponencial dos dois lados:
v1 + v = K t
Onde K = e^C é uma nova constante.

Passo 11

Resolvendo para v:
v = K t (1 + v)
v = K t + K t v
v (1 - K t) = K t
v = K t1 - K t

Passo 12

Lembrando que v = yt, substituímos de volta:
yt = K t1 - K t
Multiplicando ambos os lados por t:
y = K t^21 - K t

Passo 13

Podemos reescrever a constante K como 1C para simplificar:
y = C t^21 - C t
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO d yd t = 2 cdot (yt) + (yt)^2 é:
y(t) = C t^21 - C t
Onde C é a constante de integração.

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