Suponhamos que temos uma EDO da forma
, como por exemplo,
. As equações dessa forma são chamadas de equações diferenciais homogêneas. Como o segundo membro depende da variável
, isso nos sugere fazer a substituição
, ou seja,
.
(a) Mostre que esta mudança, substitui a equação
, pela equação equivalente
, a qual é separável
(b) Resolva a EDO
(a) Mostre que esta mudança, substitui a equação
(b) Resolva a EDO
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma
, por exemplo,
. Essas equações são chamadas de homogêneas porque o segundo membro depende somente da razão
. A questão tem duas partes:
a) Mostrar que, fazendo a substituição
, a EDO se transforma em
, que é uma equação separável.
b) Resolver a EDO específica
.
Vamos usar a substituição sugerida e técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos abordar a parte (a). Queremos mostrar que a substituição
transforma a EDO original em
.
Passo 3
Vamos substituir
. Para encontrar
, usamos a regra do produto:
Passo 4
Agora substituímos
e
na EDO original:
Então, a equação fica:
Passo 5
Rearranjando a equação:
E então:
Isso mostra que a equação transformada é
, que pode ser escrita como uma equação separável.
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte (b), onde a EDO específica é
.
Primeiro, aplicamos a substituição
, então
. Como fizemos na parte (a), temos:
Substituindo na EDO:
Rearranjando:
Assim:
Passo 7
Agora, a equação é separável:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Para a integral da esquerda, usamos a decomposição em frações parciais:
Então:
A integral da direita:
Passo 9
Igualando os resultados das integrais e combinando as constantes:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 10
Podemos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos:
Aplicando a exponencial dos dois lados:
Onde
é uma nova constante.
Passo 11
Resolvendo para
:
Passo 12
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 13
Podemos reescrever a constante
como
para simplificar:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Onde
é a constante de integração.