Resolva a EDO de Bernoulli dada por:
d yd x=y cdot(x y^3-1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a EDO de Bernoulli
dydx=y,(x,y^3-1),
que pode ser escrita na forma
dydx+P(x),y=Q(x),y^n
com P(x)=1, Q(x)=x e n=4. Para resolver vamos usar a mudança de variável
u=y^1-n=y^-3

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão linear em y:
dydx+y = x,y^4

Passo 3

Dividimos ambos os lados por y^4 (supondo yneq0):
y^-4,dydx + y^-3 = x

Passo 4

Definindo u=y^-3 temos
dudx = -3,y^-4,dydx Longrightarrow y^-4,dydx = -tfrac13,dudx
Substituindo em y^-4,dydx + y^-3 = x obtemos
-tfrac13dudx + u = x Longrightarrow dudx - 3,u = -3,x

Passo 5

A equação em u é linear. O fator integrante é
mu(x)=exp!l(!integral -3,dxr)=e^-3x
Multiplicando a equação por e^-3x:
ddxl(u,e^-3xr) = -3x,e^-3x
Integrando em x:
u,e^-3x = integral -3x,e^-3x,dx = x,e^-3x + tfrac13e^-3x + C
Logo
u = x + tfrac13 + C,e^3x

Passo 6

Revertendo a substituição u=y^-3 obtemos
y^-3 = x + tfrac13 + C,e^3x Longrightarrow y = l(x + tfrac13 + C,e^3xr)^-tfrac13

Resposta

y(x) = l(x + tfrac13 + C,e^3xr)^-tfrac13,
onde C é a constante de integração.

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