Calcule as derivadas parciais fx, fy de:
f(x, y)=y^3 e^-x^2+y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y da função
f(x,y)=y^3e^-x^2+y
O conteúdo envolvido é derivadas parciais de função de duas variáveis. Para partial f/partial x trataremos y como constante, aplicando a regra da cadeia na exponencial. Para partial f/partial y usaremos a regra do produto entre y^3 e a exponencial, além da regra da cadeia no expoente.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x observamos que y^3 é constante e que
ddxe^-x^2+y=e^-x^2+ycdotddx(-x^2+y) =e^-x^2+ycdot(-2x)
Logo,
partial fpartial x =y^3cdotl(-2x,e^-x^2+yr) =-2x,y^3e^-x^2+y

Passo 3

Para calcular partial fpartial y aplicamos a regra do produto em y^3cdot e^-x^2+y. Temos
ddy(y^3)=3y^2, ddye^-x^2+y=e^-x^2+ycdot1 =e^-x^2+y
Pela regra do produto,
partial fpartial y =3y^2e^-x^2+y+y^3e^-x^2+y =l(3y^2+y^3r)e^-x^2+y =y^2(3+y)e^-x^2+y

Resposta

partial fpartial x=-2x,y^3e^-x^2+y, partial fpartial y=y^2(3+y)e^-x^2+y

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