Determine y^prime prime se y é definida implicitamente por:
4 x^2+9 y^2=36

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
4x^2 + 9y^2 = 36
e pede a segunda derivada de y em relação a x.
Conteúdo: vamos usar diferenciação implícita para achar primeiro y' e depois aplicar a regra do quociente (ou produto + cadeia) para obter y''.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando a regra da cadeia em y^2:
ddxl(4x^2r) + ddxl(9y^2r) = ddx(36)
8x + 18y,y' = 0
Isolando y':
y' = -8x18y = -4x9y

Passo 3

Agora derivamos y' = -dfrac4x9y. Seja
u = -4x, v = 9y,
então
u' = -4, v' = 9y'
Pela regra do quociente,
y'' = u'v - u,v'v^2 = -4,(9y) - l(-4xr),(9y')(9y)^2 = -36y + 36x,y'81y^2
Substituindo y' = -tfrac4x9y em 36x,y':
36x,y' = 36xl(-4x9yr) = -144x^29y = -16x^2y
Logo,
y'' = -36y - tfrac16x^2y81y^2 = -(36y^2 + 16x^2)81y^3

Resposta

Usando ainda 4x^2 + 9y^2 = 36 para notar que 36y^2+16x^2=4(9y^2+4x^2)=4cdot36=144, obtemos a forma simplificada
y'' = -169,y^3

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