Determine se os seguintes campos vetoriais são conservativos, em caso afirmativo determine a função potencial.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo aqui é testar se num domínio simplesmente conexo e, se for, integrar para obter
.
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo aqui é testar se
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Chamando
, temos por exemplo
Analogamente os outros componentes dão zero. Assim
em todo ponto onde
.
Passo 3
O domínio natural de
é
. Como este conjunto é simplesmente conexo (todo laço pode ser continuamente contraído numa esfera), o fato de
garante que
é conservativo.
Passo 4
Para achar a potencial
, integramos a componente
em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, logo
Passo 5
Agora impomos que
. Calculando
logo
. De modo idêntico
. Portanto
é constante e podemos absorvê-la em um valor arbitrário de referência.
Resposta
O campo é conservativo em
e uma função potencial é, a menos de constante,