Determine se os seguintes campos vetoriais são conservativos, em caso afirmativo determine a função potencial.
F(x, y, z)=x(x^2+y^2+z^2)^2 i+y(x^2+y^2+z^2)^2 j+z(x^2+y^2+z^2)^2 k.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y,z)=x(x^2+y^2+z^2)^2,vec i+y(x^2+y^2+z^2)^2,vec j+z(x^2+y^2+z^2)^2,vec k
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo aqui é testar se nablatimesvec F=0 num domínio simplesmente conexo e, se for, integrar para obter phi.

Passo 2

Calculamos o rotacional nablatimesvec F. Chamando u=x^2+y^2+z^2, temos por exemplo
(nablatimesvec F)x =partialpartial yl(zu^2r) -partialpartial zl(yu^2r) =zl(-2u^-3cdot2yr)-yl(-2u^-3cdot2zr) =-4yzu^3+4yzu^3=0
Analogamente os outros componentes dão zero. Assim
nablatimesvec F=vec 0 em todo ponto onde uneq0.

Passo 3

O domínio natural de vec F é R^3setminus(0,0,0). Como este conjunto é simplesmente conexo (todo laço pode ser continuamente contraído numa esfera), o fato de nablatimesvec F=0 garante que vec F é conservativo.

Passo 4

Para achar a potencial phi, integramos a componente Fx=dfracxu^2 em relação a x:
phi(x,y,z) =integralxu^2,dx com u=x^2+y^2+z^2
Fazendo a substituição u=x^2+y^2+z^2, temos du=2x,dx, logo
integralxu^2,dx =integral12,u^-2,du =-12u+G(y,z) =-12(x^2+y^2+z^2)+G(y,z)

Passo 5

Agora impomos que partialphi/partial y=Fy. Calculando
partialpartial yl(-tfrac12u+G(y,z)r) =yu^2+partial Gpartial y =yu^2,
logo partial G/partial y=0. De modo idêntico partial G/partial z=0. Portanto G é constante e podemos absorvê-la em um valor arbitrário de referência.

Resposta

O campo é conservativo em R^3setminus0 e uma função potencial é, a menos de constante,
phi(x,y,z)=-12l(x^2+y^2+z^2r)

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