Determine y^prime prime se y é definida implicitamente por:
x y=x+y

Passo 1

O enunciado define y implicitamente por
x,y = x + y
Para achar y'' vamos primeiro usar derivação implícita para obter y' e depois derivar novamente, aplicando a regra do quociente.

Passo 2

Derivando ambos os lados de x,y = x + y em relação a x, lembrando que y depende de x:
ddx(x,y) = ddx(x + y) Longrightarrow x,y' + y = 1 + y'

Passo 3

Isolando y' em
x,y' + y = 1 + y'
temos
x,y' - y' = 1 - y Longrightarrow y'(x - 1) = 1 - y Longrightarrow y' = 1 - yx - 1

Passo 4

Para encontrar y'', derivamos
y' = 1 - yx - 1
usando a regra do quociente. Seja U = 1 - y e V = x - 1. Então
U' = -y', V' = 1,
e
y'' = U'V - U V'V^2 = (-y')(x - 1) - (1 - y)cdot 1(x - 1)^2

Passo 5

Substituindo y' = 1 - yx - 1 em (-y')(x - 1) obtemos
-y',(x - 1) = -1 - yx - 1,(x - 1) = -(1 - y)
Logo o numerador vira
-(1 - y) - (1 - y) = -2(1 - y),
e assim
y'' = -2(1 - y)(x - 1)^2

Passo 6

Podemos reescrever -2(1 - y) como 2(y - 1), chegando à forma final:

Resposta

y'' = 2(y - 1)(x - 1)^2

Exercícios relacionados