Determine a equação do plano tangente à z^2=1-5 x^2 y^2 no ponto (0,2,-1). ( 2,0 pontos)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e o que precisamos: queremos o plano tangente à superfície dada de modo implícito por z^2=1-5x^2y^2 no ponto (0,2,-1). O conteúdo é derivadas parciais e plano tangente a superfície implícita; vamos usar o gradiente de uma função F(x,y,z).

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z) cuja superfície é F(x,y,z)=0. Aqui

Passo 3

F(x,y,z)=z^2+5x^2y^2-1

Passo 4

O gradiente de F é nabla F=(Fx,Fy,Fz), e o plano tangente em (x0,y0,z0) satisfaz

Passo 5

nabla F(x0,y0,z0)cdot(x-x0,y-y0,z-z0)=0.

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 7

Fx=10xy^2, Fy=10x^2y, Fz=2z

Passo 8

No ponto (0,2,-1) isso vale

Passo 9

Fx(0,2,-1)=0, Fy(0,2,-1)=0, Fz(0,2,-1)=2(-1)=-2

Passo 10

Substituindo no formato do plano:

Passo 11

(0,0,-2)cdot(x-0,y-2,z+1)=0

Passo 12

Isto dá

Passo 13

-2)(z+1)=0

Passo 14

Logo o plano tangente é

Passo 15

z+1=0

Resposta

z=-1

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