Use o teorema de Green e calcule
onde
é a curva fechada orientada no sentido anti-horário que é borda da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
é o contorno orientado positivamente da região
limitada por
O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos
com
e
. Calculamos
logo o integrando é
Passo 3
A região
pode ser descrita em coordenadas cartesianas por
pois na reta vertical
temos
. Assim
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Logo a integral dupla fica
Passo 5
Expandindo o integrando:
e aproveitando que é função par:
Uma primitiva é
avaliada de
a
dá