Use o teorema de Green e calcule \int_{\gamma} x y^{3} d x+x^{2} d y onde \gamma é a curva fechada orientada no sentido anti-horário que é borda da região limitada pelas curvas x=\sqrt{1+y^{2}} e x=2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\oint_{\gamma} x y^{3}\,dx + x^{2}\,dy
onde \gamma é o contorno orientado positivamente da região D limitada por
x = \sqrt{1+y^2} \quad\text{e}\quad x = 2.
O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
com P(x,y)=x y^3 e Q(x,y)=x^2. Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=3x y^2,
logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2x-3x y^2 =x\,(2-3y^2).

Passo 3

A região D pode ser descrita em coordenadas cartesianas por
-\sqrt{3}\le y\le \sqrt{3}, \qquad \sqrt{1+y^2}\le x\le 2,
pois na reta vertical x=2 temos y^2=2^2-1=3. Assim
\iint_{D}x(2-3y^2)\,dA =\int_{y=-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \int_{x=\sqrt{1+y^2}}^{2} x\,(2-3y^2)\,dx\,dy.

Passo 4

Primeiro integramos em x:
\int_{\sqrt{1+y^2}}^{2}x\,(2-3y^2)\,dx =(2-3y^2)\,\int_{\sqrt{1+y^2}}^{2}x\,dx =(2-3y^2)\,\frac{2^2-(1+y^2)}{2} =(2-3y^2)\,\frac{3-y^2}{2}.
Logo a integral dupla fica
\iint_{D}x(2-3y^2)\,dA =\frac12\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(2-3y^2)(3-y^2)\,dy.

Passo 5

Expandindo o integrando:
(2-3y^2)(3-y^2)=6-11y^2+3y^4,
e aproveitando que é função par:
\frac12\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(6-11y^2+3y^4)\,dy =\int_{0}^{\sqrt{3}}(6-11y^2+3y^4)\,dy.
Uma primitiva é
6y-\frac{11}{3}y^3+\frac{3}{5}y^5,
avaliada de 0 a \sqrt{3}
6\sqrt{3}-11\sqrt{3}+\frac{27}{5}\sqrt{3} =\frac{2}{5}\sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{5}

Exercícios relacionados