(2 pontos) Resolva o PVI abaixo:
y^{\prime \prime}+y=u_{3 \pi}(t) ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O problema é um PVI não homogêneo de 2ª ordem com função degrau deslocada:
y''+y = u_{3\pi}(t),
com as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
Vamos resolver em duas regiões: antes de t=3\pi (onde o forçamento é zero) e a partir de t=3\pi (onde o forçamento é constante igual a 1), impondo continuidade de y e y' em t=3\pi.

Passo 2

Para 0\le t<3\pi, temos a EDO homogênea
y''+y=0.
A solução geral é
y_1(t)=C\cos t + D\sin t.
Usando y_1(0)=1 C=1, e y_1'(t)=-C\sin t + D\cos t com y_1'(0)=0 D=0. Logo
y_1(t)=\cos t,\quad 0\le t<3\pi.

Passo 3

Para t\ge3\pi, a equação é
y''+y=1.
Uma particular constante é y_p=1. A solução geral fica
y_2(t)=A\cos t + B\sin t +1.
Impondo continuidade em t=3\pi:
y_2(3\pi)=A\cos(3\pi)+B\sin(3\pi)+1 = -A+1 \stackrel!= y_1(3\pi)=\cos(3\pi)=-1
de onde -A+1=-1 A=2. Para a derivada,
y_2'(t)=-A\sin t + B\cos t,
logo em t=3\pi
y_2'(3\pi)=-2\sin(3\pi)+B\cos(3\pi) = -B \stackrel!= y_1'(3\pi)=-\sin(3\pi)=0
B=0. Assim
y_2(t)=2\cos t +1,\quad t\ge3\pi.

Resposta

Para todo t\ge0,
y(t)= \begin{cases} \cos t, & 0\le t<3\pi,\\\\ 2\cos t+1, & t\ge3\pi. \end{cases}

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