(2 pontos) Resolva o PVI abaixo:
Passo 1
O problema é um PVI não homogêneo de 2ª ordem com função degrau deslocada:
com as condições iniciais
Vamos resolver em duas regiões: antes de
(onde o forçamento é zero) e a partir de
(onde o forçamento é constante igual a 1), impondo continuidade de
e
em
.
Passo 2
Para
, temos a EDO homogênea
A solução geral é
Usando
dá
, e
com
dá
. Logo
Passo 3
Para
, a equação é
Uma particular constante é
. A solução geral fica
Impondo continuidade em
:
de onde
dá
. Para a derivada,
logo em
dá
. Assim
Resposta
Para todo
,