Calcule \int_{\partial D}\left(2 x-3 y^{3}\right) d x-x y d y, sendo D a região no plano x y interior à circunferência x^{2}+y^{2}=9 \mathrm{e} exterior ao retângulo de vértices A_{1}=(1,-1), A_{2}=(2,-1), A_{3}=(2,1) e A_{4}=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{\partial D}\bigl(2x - 3y^3\bigr)\,dx \;-\; x y\,dy
onde D é a região do plano limitada interiormente pela circunferência x^2+y^2=9 e exteriormente pelo retângulo de vértices A_1=(1,-1), A_2=(2,-1), A_3=(2,1), A_4=(1,1).
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma integral de linha em integral dupla de
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
sobre D, com P=2x-3y^3 e Q=-xy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial(-xy)}{\partial x}=-y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial(2x-3y^3)}{\partial y}=-9y^2.
Logo o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-y -(-9y^2) =9y^2 - y.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\bigl(9y^2 - y\bigr)\,dA.
Como D é o disco de raio 3 menos o retângulo [1,2]\times[-1,1], escrevemos
\iint_{D}(9y^2 - y)\,dA =\iint_{x^2+y^2\le9}(9y^2 - y)\,dA \;-\; \iint_{\substack{1\le x\le2\\\ -1\le y\le1}}(9y^2 - y)\,dA.

Passo 4

Calcular a integral no disco de raio 3. Por simetria,
\iint_{x^2+y^2\le9}(-y)\,dA = 0,
e
\iint_{x^2+y^2\le9}9y^2\,dA =9\;\iint_{x^2+y^2\le9}y^2\,dA.
Sabemos que
\iint_{x^2+y^2\le R^2}y^2\,dA = \frac{\pi R^4}{4}.
Para R=3 isso dá
\iint_{x^2+y^2\le9}9y^2\,dA =9\;\frac{\pi\cdot3^4}{4} =9\;\frac{81\pi}{4} =\frac{729\pi}{4}.

Passo 5

Calcular a integral no retângulo 1\le x\le2,\,-1\le y\le1:
\iint_{\substack{1\le x\le2\\\ -1\le y\le1}}9y^2\,dA =9\int_{x=1}^{2}dx\int_{y=-1}^{1}y^2\,dy =9\cdot(2-1)\cdot\frac{2}{3} =6,
\iint_{\substack{1\le x\le2\\\ -1\le y\le1}}(-y)\,dA =-\int_{x=1}^{2}dx\int_{y=-1}^{1}y\,dy =-1\cdot0 =0.
Portanto a integral sobre o retângulo é 6.

Passo 6

Subtraindo, a integral total vale
\iint_{D}(9y^2 - y)\,dA =\frac{729\pi}{4} - 6.

Resposta

\oint_{\partial D}\bigl(2x - 3y^3\bigr)\,dx \;-\; x y\,dy =\frac{729\pi}{4} - 6.

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