Calcule
, sendo
a região no plano
interior à circunferência
exterior ao retângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a região do plano limitada interiormente pela circunferência
e exteriormente pelo retângulo de vértices
,
,
,
.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma integral de linha em integral dupla de
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma integral de linha em integral dupla de
sobre
, com
e
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
Logo o integrando de Green é
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
Como
é o disco de raio
menos o retângulo
, escrevemos
Passo 4
Calcular a integral no disco de raio
. Por simetria,
e
Sabemos que
Para
isso dá
Passo 5
Calcular a integral no retângulo
:
Portanto a integral sobre o retângulo é
.
Passo 6
Subtraindo, a integral total vale