- Calcule as derivadas parciais
e
da função
e verifique que a igualdade
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais mistas
e
da função
e verificar que
.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se de
e de . - Depois, comparar os dois resultados para verificar a igualdade.
Passo 2
Lembretes (fórmulas e ideias que vou usar; explicadinhas passo a passo):
- Derivada parcial: ao derivar em relação a
(ou ) tratam-se as outras variáveis como constantes. - Regra do produto (para derivadas parciais): se
então
- Regra da cadeia (para funções compostas): se
então
- Notação curta: vou usar
, então . Assim e .
Passo 3
Calcular
.
Aplicando a regra do produto com
e
:
-
(pois é constante aqui). -
.
Logo
Fatorando
,
Passo 4
Calcular
.
Temos
com
.
Usando produto + cadeia:
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
,
Passo 5
Calcular
.
Voltando à definição original
. Aplicando produto:
-
. -
.
Portanto
Fatorando
,
Passo 6
Calcular
.
Agora
com
.
Usando produto + cadeia:
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
,
Passo 7
Verificar que
mostrando que as duas expressões coincidem.
Expandindo os termos interiores (apenas algebra):
- No
o interior é
- No
o interior é
Essas duas formas são idênticas (mesma soma de termos, apenas em ordem diferente). Portanto
.
Observação teórica curta: isso também era previsto pelo teorema de Clairaut (ou teorema das derivadas parciais mistas), pois
é combinação de polinômios e exponenciais e, portanto, é
(possui derivadas contínuas de todas as ordens). Logo as derivadas mistas de segunda ordem coincidem.