1. Calcule as derivadas parciais f_{x y} e f_{y x} da função
f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) e^{x^{3}-y^{3}}
e verifique que a igualdade f_{x y}=f_{y x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} da função
f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) e^{x^{3}-y^{3}}
e verificar que f_{x y}=f_{y x}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=(x^{2}-y^{2})e^{x^{3}-y^{3}}.
  • Precisa-se de f_{x y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) e de f_{y x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Depois, comparar os dois resultados para verificar a igualdade.

Passo 2

Lembretes (fórmulas e ideias que vou usar; explicadinhas passo a passo):
  • Derivada parcial: ao derivar em relação a x (ou y) tratam-se as outras variáveis como constantes.
  • Regra do produto (para derivadas parciais): se f(x,y)=g(x,y)\,h(x,y) então
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial g}{\partial x}\,h + g\,\frac{\partial h}{\partial x}.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se h(x,y)=e^{u(x,y)} então
\frac{\partial h}{\partial x}=e^{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Notação curta: vou usar u(x,y)=x^{3}-y^{3}, então e^{u(x,y)}=e^{x^{3}-y^{3}}. Assim u_x=3x^{2} e u_y=-3y^{2}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Aplicando a regra do produto com g(x,y)=x^{2}-y^{2} e h(x,y)=e^{u(x,y)}:
  • \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x (pois y é constante aqui).
  • \dfrac{\partial h}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot u_x = e^{x^{3}-y^{3}}\cdot 3x^{2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = (2x)\,e^{x^{3}-y^{3}} + (x^{2}-y^{2})\,(3x^{2})\,e^{x^{3}-y^{3}}.
Fatorando e^{x^{3}-y^{3}},
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x^{3}-y^{3}}\left(2x+3x^{2}(x^{2}-y^{2})\right).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{x y}.
Temos f_x=e^{x^{3}-y^{3}}\cdot A(x,y) com A(x,y)=2x+3x^{2}(x^{2}-y^{2}).
Usando produto + cadeia:
  • Derivada de e^{x^{3}-y^{3}} em relação a y: e^{x^{3}-y^{3}}\cdot u_y = e^{x^{3}-y^{3}}\cdot(-3y^{2}).
  • Derivada de A(x,y) em relação a y: A_y = 3x^{2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) = 3x^{2}\cdot(-2y) = -6x^{2}y.
Aplicando a regra do produto:
\begin{aligned} f_{x y} &= \left(e^{x^{3}-y^{3}}\right)_{y}\cdot A + e^{x^{3}-y^{3}}\cdot A_{y} \\\ &= e^{x^{3}-y^{3}}\left[(-3y^{2})\cdot\big(2x+3x^{2}(x^{2}-y^{2})\big) \right] + e^{x^{3}-y^{3}}\left(-6x^{2}y\right). \end{aligned}
Fatorando e^{x^{3}-y^{3}},
\boxed{\,f_{x y}=e^{x^{3}-y^{3}}\left[-3y^{2}\big(2x+3x^{2}(x^{2}-y^{2})\big)-6x^{2}y\right].\,}

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Voltando à definição original f=(x^{2}-y^{2})e^{x^{3}-y^{3}}. Aplicando produto:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x^{3}-y^{3}}=e^{x^{3}-y^{3}}\cdot u_y = e^{x^{3}-y^{3}}\cdot(-3y^{2}).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=(-2y)\,e^{x^{3}-y^{3}} + (x^{2}-y^{2})(-3y^{2})\,e^{x^{3}-y^{3}}.
Fatorando e^{x^{3}-y^{3}},
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x^{3}-y^{3}}\left(-2y-3y^{2}(x^{2}-y^{2})\right).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{y x}.
Agora f_y=e^{x^{3}-y^{3}}\cdot B(x,y) com B(x,y)=-2y-3y^{2}(x^{2}-y^{2}).
Usando produto + cadeia:
  • Derivada de e^{x^{3}-y^{3}} em relação a x: e^{x^{3}-y^{3}}\cdot u_x = e^{x^{3}-y^{3}}\cdot 3x^{2}.
  • Derivada de B(x,y) em relação a x: B_x = -3y^{2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2}) = -3y^{2}\cdot 2x = -6xy^{2}.
Aplicando a regra do produto:
\begin{aligned} f_{y x} &= \left(e^{x^{3}-y^{3}}\right)_{x}\cdot B + e^{x^{3}-y^{3}}\cdot B_{x} \\\ &= e^{x^{3}-y^{3}}\left[3x^{2}\cdot\big(-2y-3y^{2}(x^{2}-y^{2})\big)\right] + e^{x^{3}-y^{3}}\left(-6xy^{2}\right). \end{aligned}
Fatorando e^{x^{3}-y^{3}},
\boxed{\,f_{y x}=e^{x^{3}-y^{3}}\left[3x^{2}\big(-2y-3y^{2}(x^{2}-y^{2})\big)-6xy^{2}\right].\,}

Passo 7

Verificar que f_{x y}=f_{y x} mostrando que as duas expressões coincidem.
Expandindo os termos interiores (apenas algebra):
  • No f_{x y} o interior é
-3y^{2}\big(2x+3x^{2}(x^{2}-y^{2})\big)-6x^{2}y = -6xy^{2} -9x^{2}y^{2}(x^{2}-y^{2}) -6x^{2}y.
  • No f_{y x} o interior é
3x^{2}\big(-2y-3y^{2}(x^{2}-y^{2})\big)-6xy^{2} = -6x^{2}y -9x^{2}y^{2}(x^{2}-y^{2}) -6xy^{2}.
Essas duas formas são idênticas (mesma soma de termos, apenas em ordem diferente). Portanto f_{x y}=f_{y x}.
Observação teórica curta: isso também era previsto pelo teorema de Clairaut (ou teorema das derivadas parciais mistas), pois f é combinação de polinômios e exponenciais e, portanto, é C^{\infty} (possui derivadas contínuas de todas as ordens). Logo as derivadas mistas de segunda ordem coincidem.

Resposta

f_{x y}(x,y)=e^{x^{3}-y^{3}}\left[-3y^{2}\big(2x+3x^{2}(x^{2}-y^{2})\big)-6x^{2}y\right]
f_{y x}(x,y)=e^{x^{3}-y^{3}}\left[3x^{2}\big(-2y-3y^{2}(x^{2}-y^{2})\big)-6xy^{2}\right]

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