Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto P indicado f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y \cos (x+y)}{x^{2}+y^{2}} & , \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & , \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad P=(0,0)\right.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes e pede para verificar continuidade no ponto P=(0,0). Informações fornecidas:
Para (x,y)\neq(0,0) vale
f(x,y)=\frac{x y \cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}}.
Para (x,y)=(0,0) vale
f(0,0)=1.
Pergunta explícita: a função é contínua em P=(0,0)?
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser contínua em P=(0,0).
Uma função de duas variáveis f é contínua em P se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Isso quer dizer que, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por qualquer caminho, os valores f(x,y) devem tender ao mesmo número; esse número tem que ser exatamente f(0,0).
Estratégia prática na prova: calcular (ou estimar) \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Se encontrar um caminho que dê um limite diferente de f(0,0), então a função NÃO é contínua. Outra forma mais forte é mostrar que nenhum limite pode ser igual a f(0,0) por desigualdade.
Conclusão parcial: ao menos por esse caminho o valor de limite é 0, que é diferente de f(0,0)=1. Isso já mostra que o limite total não pode ser igual a 1. (Basta um caminho que dê limite diferente para concluir não continuidade.)
Passo 4
Para reforçar e dar outra visão (útil em prova), vamos obter uma desigualdade global que limita os possíveis valores de \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
Primeiro escrevemos o valor absoluto:
\left|f(x,y)\right|=\left|\frac{x y \cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}}\right| =\frac{|x y|\,|\cos(x+y)|}{x^{2}+y^{2}}.
Como |\cos(x+y)|\le 1 para todo argumento, obtemos
\left|f(x,y)\right|\le\frac{|x y|}{x^{2}+y^{2}}.
Usando a desigualdade clássica 2|x y|\le x^{2}+y^{2} (que vem de (x-y)^{2}\ge0 ou da AM-GM), segue
\frac{|x y|}{x^{2}+y^{2}}\le\frac{1}{2}.
Assim, para todo (x,y)\neq(0,0) vale
\left|f(x,y)\right|\le\frac{1}{2}.
Consequência: qualquer limite possível \ell=\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) (se existir) deve satisfazer |\ell|\le 1/2. Em particular, \ell não pode ser 1, pois |1|=1>1/2.
Passo 5
Um exemplo adicional mostrando que limites por caminhos diferentes dão resultados distintos (e portanto o limite total não existe):