Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto P indicado
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y \cos (x+y)}{x^{2}+y^{2}} & , \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & , \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad P=(0,0)\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes e pede para verificar continuidade no ponto P=(0,0). Informações fornecidas:
  • Para (x,y)\neq(0,0) vale
f(x,y)=\frac{x y \cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}}.
  • Para (x,y)=(0,0) vale
f(0,0)=1.
Pergunta explícita: a função é contínua em P=(0,0)?

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser contínua em P=(0,0).
  • Uma função de duas variáveis f é contínua em P se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
  • Isso quer dizer que, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por qualquer caminho, os valores f(x,y) devem tender ao mesmo número; esse número tem que ser exatamente f(0,0).
  • Estratégia prática na prova: calcular (ou estimar) \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Se encontrar um caminho que dê um limite diferente de f(0,0), então a função NÃO é contínua. Outra forma mais forte é mostrar que nenhum limite pode ser igual a f(0,0) por desigualdade.

Passo 3

Testando um caminho simples: a reta y=0.
  • Para todo x\neq0 com y=0 temos
f(x,0)=\frac{x\cdot 0\cdot \cos(x+0)}{x^{2}+0^{2}}=0.
  • Portanto, ao aproximar (x,0)\to(0,0) obtemos
\lim_{x\to 0} f(x,0)=0.
  • Conclusão parcial: ao menos por esse caminho o valor de limite é 0, que é diferente de f(0,0)=1. Isso já mostra que o limite total não pode ser igual a 1. (Basta um caminho que dê limite diferente para concluir não continuidade.)

Passo 4

Para reforçar e dar outra visão (útil em prova), vamos obter uma desigualdade global que limita os possíveis valores de \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
  • Primeiro escrevemos o valor absoluto:
\left|f(x,y)\right|=\left|\frac{x y \cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}}\right| =\frac{|x y|\,|\cos(x+y)|}{x^{2}+y^{2}}.
  • Como |\cos(x+y)|\le 1 para todo argumento, obtemos
\left|f(x,y)\right|\le\frac{|x y|}{x^{2}+y^{2}}.
  • Usando a desigualdade clássica 2|x y|\le x^{2}+y^{2} (que vem de (x-y)^{2}\ge0 ou da AM-GM), segue
\frac{|x y|}{x^{2}+y^{2}}\le\frac{1}{2}.
  • Assim, para todo (x,y)\neq(0,0) vale
\left|f(x,y)\right|\le\frac{1}{2}.
  • Consequência: qualquer limite possível \ell=\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) (se existir) deve satisfazer |\ell|\le 1/2. Em particular, \ell não pode ser 1, pois |1|=1>1/2.

Passo 5

Um exemplo adicional mostrando que limites por caminhos diferentes dão resultados distintos (e portanto o limite total não existe):
  • Na reta y=x (com x\neq0) temos
f(x,x)=\frac{x\cdot x\cdot\cos(2x)}{x^{2}+x^{2}}=\frac{x^{2}\cos(2x)}{2x^{2}}=\frac{\cos(2x)}{2}.
  • Tomando x\to0
\lim_{x\to0} f(x,x)=\frac{\cos 0}{2}=\frac{1}{2}.
  • Já vimos no Passo 3 que pela reta y=0 o limite é 0. Como 0\neq\frac{1}{2}, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) sequer existe.

Resposta

Não; a função não é contínua em P=(0,0).

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