a) Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
b) Verifique se f é diferenciável na origem (Justifique sua resposta!)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Explicação didática: aqui o eixo y=0 faz o numerador nulo para qualquer x, portanto a variação de f ao longo de x com y fixo em 0 é zero, então a derivada parcial em x é 0.
Passo 3
Definição e cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
Definição: a derivada parcial de f em relação a y na origem é
Didática: ao mover-se apenas na direção y a partir da origem, a fórmula dá sempre zero, então a derivada parcial em y na origem é 0.
Passo 4
O que significa ser diferenciável em (0,0) e como testar isso aqui.
Definição útil: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aproximação linear (o diferencial) tal que o erro seja pequeno em relação à distância ao ponto. Mais formalmente, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, f é diferenciável em (0,0) se existir um mapa linear L(x,y)=ax+by (onde a=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e b=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) quando as parciais existem) tal que
Se esse limite for diferente de 0 (ou não existir), então f não é diferenciável em (0,0).
Didática: a ideia é que, se a melhor linear aproximação é zero aqui (porque as parciais são zero), então f(x,y) deve ser muito menor que a distância ao ponto; se não for, não há aproximação linear boa e f não é diferenciável.
Passo 5
Estratégia para testar o limite: escolher um caminho adequado.
Para computar o limite \dfrac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} pode-se avaliar a expressão ao longo de caminhos que aproximam (0,0). Se em algum caminho o limite for diferente de 0, então o limite total não é 0 e f não é diferenciável.
Observação sobre a expressão de f: o denominador é x^{2}+3y^{4}. Para equilibrar termos e obter uma expressão simples, uma boa escolha é fazer x ter ordem de grandeza y^{2}, pois então x^{2} e y^{4} terão a mesma ordem. Assim proponho o caminho
x=t^{2},\qquad y=t,
com t\to 0. (Isto é uma escolha motivada por tentar cancelar expoentes na fração; é uma técnica comum: ajustar os caminhos para que termos do numerador e denominador tenham ordens semelhantes.)
Passo 6
Avaliação da função ao longo do caminho x=t^{2},\,y=t e comportamento da razão.
Ao fazer t\to 0^{+} essa quantidade tende a \dfrac{1}{4} (não a 0). Ao fazer t\to 0^{-} tende a -\dfrac{1}{4}. Em particular, o limite ao longo esse caminho não é 0.
Explicação didática: encontramos um caminho em que a razão não tende a zero (fica em torno de \pm 1/4 conforme o lado). Isso já é suficiente para concluir.
Passo 7
Conclusão sobre diferenciabilidade com justificativa final.
Como ao longo o caminho x=t^{2},y=t a expressão \dfrac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} não tende a 0 (por exemplo, ao aproximar pela direita o limite é \tfrac{1}{4}), então
Pelo critério da aproximação linear isso mostra que não existe linearização L(x,y)=0 que satisfaça o erro pequeno pedido; portanto f não é diferenciável em (0,0).
Observação didática final: este é um exemplo clássico que mostra que existirem derivadas parciais (aqui ambas iguais a zero) não garante diferenciabilidade. Para garantir diferenciabilidade uma condição suficiente é que as derivadas parciais existam e sejam contínuas num entorno (teorema das derivadas parciais contínuas), o que não ocorre aqui.
Resposta
\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0 f não é diferenciável em (0,0).