1. Considere a função dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2} y}{x^{2}+3 y^{4}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & , \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
a) Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
b) Verifique se f é diferenciável na origem (Justifique sua resposta!)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+3y^{4}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
  • O enunciado pede:
    • (a) calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0);
    • (b) verificar se f é diferenciável na origem (ou seja, em (0,0)) e justificar a resposta.
Informações úteis que já temos imediatamente: f(0,0)=0. A resolução começa agora.]

Passo 2

Definição e cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0).
  • Definição: a derivada parcial de f em relação a x na origem é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
  • Para calcular, precisamos de f(h,0) quando h\neq0. Substituindo y=0 na fórmula de f (caso (x,y)\neq(0,0)):
f(h,0)=\frac{h^{2}\cdot 0}{h^{2}+3\cdot 0^{4}}=0.
  • Então a diferença no numerador é f(h,0)-f(0,0)=0-0=0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0.
Explicação didática: aqui o eixo y=0 faz o numerador nulo para qualquer x, portanto a variação de f ao longo de x com y fixo em 0 é zero, então a derivada parcial em x é 0.

Passo 3

Definição e cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
  • Definição: a derivada parcial de f em relação a y na origem é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
  • Para x=0 e h\neq0,
f(0,h)=\frac{0^{2}\cdot h}{0^{2}+3h^{4}}=0.
  • Então f(0,h)-f(0,0)=0 e
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0.
Didática: ao mover-se apenas na direção y a partir da origem, a fórmula dá sempre zero, então a derivada parcial em y na origem é 0.

Passo 4

O que significa ser diferenciável em (0,0) e como testar isso aqui.
  • Definição útil: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aproximação linear (o diferencial) tal que o erro seja pequeno em relação à distância ao ponto. Mais formalmente, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, f é diferenciável em (0,0) se existir um mapa linear L(x,y)=ax+by (onde a=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e b=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) quando as parciais existem) tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{r}=0.
  • No nosso caso já calculamos a=0 e b=0. Portanto, para verificar diferenciabilidade em (0,0) basta testar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
  • Se esse limite for diferente de 0 (ou não existir), então f não é diferenciável em (0,0).
Didática: a ideia é que, se a melhor linear aproximação é zero aqui (porque as parciais são zero), então f(x,y) deve ser muito menor que a distância ao ponto; se não for, não há aproximação linear boa e f não é diferenciável.

Passo 5

Estratégia para testar o limite: escolher um caminho adequado.
  • Para computar o limite \dfrac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} pode-se avaliar a expressão ao longo de caminhos que aproximam (0,0). Se em algum caminho o limite for diferente de 0, então o limite total não é 0 e f não é diferenciável.
  • Observação sobre a expressão de f: o denominador é x^{2}+3y^{4}. Para equilibrar termos e obter uma expressão simples, uma boa escolha é fazer x ter ordem de grandeza y^{2}, pois então x^{2} e y^{4} terão a mesma ordem. Assim proponho o caminho
x=t^{2},\qquad y=t,
com t\to 0. (Isto é uma escolha motivada por tentar cancelar expoentes na fração; é uma técnica comum: ajustar os caminhos para que termos do numerador e denominador tenham ordens semelhantes.)

Passo 6

Avaliação da função ao longo do caminho x=t^{2},\,y=t e comportamento da razão.
  • Substituindo x=t^{2} e y=t em f para t\neq0:
f(t^{2},t)=\frac{(t^{2})^{2}\cdot t}{(t^{2})^{2}+3t^{4}} =\frac{t^{4}\cdot t}{t^{4}+3t^{4}} =\frac{t^{5}}{4t^{4}}=\frac{t}{4}.
  • A distância ao ponto (0,0) é
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{t^{4}+t^{2}}=|t|\sqrt{1+t^{2}}.
  • Portanto a razão que queremos testar é
\frac{f(t^{2},t)}{\sqrt{t^{4}+t^{2}}} =\frac{t/4}{|t|\sqrt{1+t^{2}}} =\frac{\operatorname{sgn}(t)}{4\sqrt{1+t^{2}}}.
  • Ao fazer t\to 0^{+} essa quantidade tende a \dfrac{1}{4} (não a 0). Ao fazer t\to 0^{-} tende a -\dfrac{1}{4}. Em particular, o limite ao longo esse caminho não é 0.
Explicação didática: encontramos um caminho em que a razão não tende a zero (fica em torno de \pm 1/4 conforme o lado). Isso já é suficiente para concluir.

Passo 7

Conclusão sobre diferenciabilidade com justificativa final.
  • Como ao longo o caminho x=t^{2},y=t a expressão \dfrac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} não tende a 0 (por exemplo, ao aproximar pela direita o limite é \tfrac{1}{4}), então
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\neq 0.
  • Pelo critério da aproximação linear isso mostra que não existe linearização L(x,y)=0 que satisfaça o erro pequeno pedido; portanto f não é diferenciável em (0,0).
Observação didática final: este é um exemplo clássico que mostra que existirem derivadas parciais (aqui ambas iguais a zero) não garante diferenciabilidade. Para garantir diferenciabilidade uma condição suficiente é que as derivadas parciais existam e sejam contínuas num entorno (teorema das derivadas parciais contínuas), o que não ocorre aqui.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0
f não é diferenciável em (0,0).

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