Calcule as derivadas parciais de f
f(x, y)=\frac{x y+2 y}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\frac{x\,y+2\,y}{x^{2}-y^{2}}.
O conteúdo aqui é derivação parcial de função de duas variáveis, e vamos usar a regra do quociente para cada variável, tratando y como constante ao derivar em relação a x e x como constante ao derivar em relação a y.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=x\,y+2\,y, \quad v(x,y)=x^{2}-y^{2},
de modo que f=u/v. Ao derivar em relação a x temos
\frac{\partial u}{\partial x}=y, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=2\,x,
logo, pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\bigl(\partial_x u\bigr)\,v - u\,\bigl(\partial_x v\bigr)}{v^{2}} =\frac{y\,(x^{2}-y^{2})-(x\,y+2\,y)\,2x}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.
Desenvolvendo o numerador,
y\,x^{2}-y^{3}-2x^{2}y-4x\,y =-y\bigl(x^{2}+4x+y^{2}\bigr),
portanto
\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{y\,(x^{2}+4x+y^{2})}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.

Passo 3

Para a derivada em relação a y calculamos
\frac{\partial u}{\partial y}=x+2, \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-2\,y,
e aplicamos a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(x+2)(x^{2}-y^{2})-(x\,y+2\,y)(-2y)}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.
No numerador,
(x+2)x^{2}-(x+2)y^{2}+2y(x\,y+2y) =x^{3}+2x^{2}-x\,y^{2}-2y^{2}+2x\,y^{2}+4y^{2} =(x+2)(x^{2}+y^{2}),
logo
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(x+2)(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{y\,(x^{2}+4x+y^{2})}{(x^{2}-y^{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(x+2)(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.

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