Item (b) A partir do item (a) calcule \int_{1}^{5} 12 x \ln (x) d x e insira a sua resposta abaixo

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de
\int_{1}^{5} 12\,x\ln(x)\,dx
O conteúdo necessário é: técnica de integração por partes para encontrar uma primitiva de 12x\ln(x) (item (a)) e, em seguida, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Usamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos
u = \ln(x),\quad dv = 12\,x\,dx
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du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = \int 12\,x\,dx = 6x^2.

Passo 3

Calculamos a primitiva de 12x\ln(x):
\int 12\,x\ln(x)\,dx = 6x^2\ln(x) - \int 6x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx = 6x^2\ln(x) - 6\int x\,dx = 6x^2\ln(x) - 3x^2 + C.

Passo 4

Definimos F(x)=6x^2\ln(x)-3x^2 e avaliamos de 1 a 5:
F(5)=6\cdot5^2\ln(5)-3\cdot5^2=150\ln(5)-75, \quad F(1)=6\cdot1^2\ln(1)-3\cdot1^2=0-3=-3.
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\int_{1}^{5}12\,x\ln(x)\,dx = F(5)-F(1) = (150\ln(5)-75)-(-3) = 150\ln(5)-72.

Resposta

150\ln(5)-72

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