Calcule as derivadas parciais de f
f(x, y)=\sqrt{x+y \sin x}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\sqrt{x+y\sin x}
Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas, lembrando que em \partial f/\partial x tratamos y como constante e em \partial f/\partial y tratamos x como constante.

Passo 2

Para f(u)=\sqrt{u} a derivada é
f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}
Logo, se u(x,y)=x+y\sin x, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sqrt{u(x,y)}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\;\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sqrt{u(x,y)}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\;\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Calcule \partial u/\partial x com u(x,y)=x+y\sin x:
\frac{\partial u}{\partial x} =1 + y\cos x.
Portanto
f_x(x,y) =\frac{1+y\cos x}{2\sqrt{x+y\sin x}}.

Passo 4

Calcule \partial u/\partial y com u(x,y)=x+y\sin x:
\frac{\partial u}{\partial y} =\sin x.
Portanto
f_y(x,y) =\frac{\sin x}{2\sqrt{x+y\sin x}}.

Resposta

f_x(x,y)=\frac{1+y\cos x}{2\sqrt{x+y\sin x}}, \qquad f_y(x,y)=\frac{\sin x}{2\sqrt{x+y\sin x}}.

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