Calcule as derivadas parciais de f(x, y)=3 x^{2}+2 x y+y^{3}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=3x^{2}+2xy+y^{3}.
Para isso, usamos a regra da soma (a derivada da soma é a soma das derivadas), a regra do produto ao derivar 2xy (tratando a outra variável como constante) e a regra da potência \frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e derivamos termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2})=6x,\quad \frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y,\quad \frac{\partial}{\partial x}(y^{3})=0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x+2y.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e derivamos termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,\quad \frac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x+3y^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x+2y. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x+3y^{2}.

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