Função de produção Cobb-Douglas Q(K, L)=K^{0,4} L^{0,6}.
a) Calcule o produto marginal do capital.
b) Calcule o produto marginal do trabalho.
c) Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção Cobb–Douglas
Q(K,L)=K^{0,4}\,L^{0,6}
e pede o produto marginal do capital e do trabalho. Vamos usar derivadas parciais (regra de potência) para obter cada produto marginal.

Passo 2

Para calcular o produto marginal do capital, tomamos a derivada parcial de Q em relação a K, tratando L como constante. Pela regra de potência:
\frac{\partial Q}{\partial K} =0,4\,K^{0,4-1}\,L^{0,6} =0,4\,K^{-0,6}\,L^{0,6}.

Passo 3

Para calcular o produto marginal do trabalho, tomamos a derivada parcial de Q em relação a L, tratando K como constante. Pela regra de potência:
\frac{\partial Q}{\partial L} =0,6\,K^{0,4}\,L^{0,6-1} =0,6\,K^{0,4}\,L^{-0,4}.

Passo 4

Interpretamos os resultados:
O produto marginal do capital \frac{\partial Q}{\partial K} indica quanto a produção aumenta ao acrescentar uma unidade de K mantendo L fixo, e como ele depende de K^{-0,6} ele decresce quando K cresce (retornos marginais decrescentes). Analogamente, \frac{\partial Q}{\partial L} decresce com L (retornos marginais decrescentes do trabalho). Os coeficientes 0,4 e 0,6 são também as elasticidades de Q em relação a K e L e, somando-se a 1, denotam retornos constantes de escala.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial K}=0,4\,K^{-0,6}\,L^{0,6}
(b) \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial L}=0,6\,K^{0,4}\,L^{-0,4}
(c) Cada produto marginal é positivo e decrescente conforme o respectivo fator aumenta (retornos marginais decrescentes); os expoentes 0,4 e 0,6 são as elasticidades de Q em relação a K e L, e somam 1, indicando retornos constantes de escala.

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