Mostre que se y=f(x)=3 x+2, então a derivada da inversa f^{-1}(y) pode ser obtida via \frac{\partial}{\partial x} f^{-1}(y)=\frac{1}{f_{(x)}^{\prime}}

Passo 1

O enunciado define y=f(x)=3x+2 e pede para mostrar que a derivada da inversa f^{-1}(y) pode ser escrita como
\frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}.
O conteúdo aqui é a regra da derivada da função inversa, que relaciona (f^{-1})'(y) ao recíproco de f'(x).

Passo 2

Para encontrar a inversa, resolvemos a equação
y=3x+2
em função de x. Subtraindo 2 de ambos os lados e dividindo por 3, obtemos
x=\frac{y-2}{3}.
Logo,
f^{-1}(y)=\frac{y-2}{3}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f^{-1}(y) em relação a y:
\frac{d}{dy}f^{-1}(y) =\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{y-2}{3}\Bigr) =\frac{1}{3}.

Passo 4

A derivada de f(x) em relação a x é
f'(x)=\frac{d}{dx}(3x+2)=3.
O recíproco de f'(x) é
\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{3}.
Como as duas expressões coincidem, concluímos que
\frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}.

Resposta

\frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}.

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